L'équation y = ax + b dans un repère (O, x, y, z) c'est celle d'un plan ?

[Le Capitaine Jack Sparrow]

Bonjour,

L'équation y = ax + b dans un repère (O, x, y, z) est-elle celle d'un plan s'il vous plait ?

Car z n'est pas défini donc c'est vrai pour tout z ?

Merci pour vos réponses !
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[albanxiii]

Bonjour,

Vous connaissez le théorème du rang ?

edit : je me rends compte qu'on est en collège/lycée, donc probablement pas. J'essayais juste de trouver un moyen plus ou moins intuitif, mais là, je laisse la main aux professionnels

[gg0]

Bonsoir.

Dans l'espace, les plans ont pour équations ux+vy+wz+h=0, où les coefficients u, v w ne sont pas simultanément nuls (*). Ton équation se réécrit ax+(-1)y+0z+b=0, c'est donc une équation de plan (a,-1 et b ne peuvent pas être tous les 3 nuls, puisque -1 ne l'est pas). Si tu connais deux valeurs x' et y' telles que y'=ax'+b, alors pour tout z, le point (x',y',z) est dans le plan.
Attention : "z n'est pas défini" est une absurdité. ce qui est vrai c'est que z n'apparaît pas dans l'équation. Mais tous les points de l'espace ont une coordonnée z.

Cordialement.

(*) Si u=v=w=0, l'équation est h=0, qui est l'équation de l'ensemble vide si h n'est pas nul (égalité toujours fausse), et l'équation de l'espace tout entier si h est justement 0 (pour tout point de l'espace, 0=0 est vérifié).

[Le Capitaine Jack Sparrow]

Bonjour,

Vous connaissez le théorème du rang ?

edit : je me rends compte qu'on est en collège/lycée, donc probablement pas. J'essayais juste de trouver un moyen plus ou moins intuitif, mais là, je laisse la main aux professionnels

Non effectivement je ne connais pas le théorème du rang malheureusement mais merci quand même !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Le Capitaine Jack Sparrow]

Bonsoir.

Dans l'espace, les plans ont pour équations ux+vy+wz+h=0, où les coefficients u, v w ne sont pas simultanément nuls (*). Ton équation se réécrit ax+(-1)y+0z+b=0, c'est donc une équation de plan (a,-1 et b ne peuvent pas être tous les 3 nuls, puisque -1 ne l'est pas). Si tu connais deux valeurs x' et y' telles que y'=ax'+b, alors pour tout z, le point (x',y',z) est dans le plan.
Attention : "z n'est pas défini" est une absurdité. ce qui est vrai c'est que z n'apparaît pas dans l'équation. Mais tous les points de l'espace ont une coordonnée z.

Cordialement.

(*) Si u=v=w=0, l'équation est h=0, qui est l'équation de l'ensemble vide si h n'est pas nul (égalité toujours fausse), et l'équation de l'espace tout entier si h est justement 0 (pour tout point de l'espace, 0=0 est vérifié).

Ah d'accord, merci pour votre réponse !


En fait je me suis posé cette question en m'intéressant à la question 3. de l'exercice 2 (celui pour les non spé maths).

Sujet :
https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Asie_S_juin_2006.pdf

Correction :
https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Corrige..._juin_2006.pdf


A la question 3 de l'exercice 2, on nous demande de trouver les coordonnées de R qui est le projeté orthogonale de I sur (AC).

Pour cela on utilise les deux conditions que l'on a vu (i) et (ii) :
(i) : R est sur la droite AC
(ii) : vec(IR).vec(AC) = 0


Je me demandais quel information nous donnait (ii) et au début je pensais qu'on obtenait l'équation d'une droite car je ne visualisait que la droite (IR), je pensais "(IR) perpendiculaire à (AC)".
Mais en visualisant la droite (IR) de manière plus mobile (en mode vecteur) je comprend qu'en fait on obtient l'équation du plan perpendiculaire à (AC) et passant par R qui est le projeté orthogonale de I.