Opérations avec les congruences

[Le Capitaine Jack Sparrow]

Bonjour à tous,


Sujet :
https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Asie_S_juin_2006.pdf

Correction :
https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Corrige..._juin_2006.pdf

A l'exercice 2 de spé, j'ai pu faire toutes les questions en utilisant seulement des opérations sur les congruences, je n'ai pas traduit en division arithmétique comme dans la correction.

Sauf la question 3.b., le corrigé parvient à utilisé 3.a grâce aux divisions arithmétiques.

Mais je suis très curieux de savoir si on peut résoudre cette question en s'en passant s'il vous plaît.


Pour résumé on a :
x^2 + y^2 + z^2 = 2^n - 1 [2^n]

x, y, z entiers naturels impair

Et à la question 3.a. on a montré que k^2 + k = 0 [2]

Au 3.b on doit déduire que :
x^2 + y^2 + z^2 = 3 [8]


Alors personnellement j'avais commencé comme ça sans pouvoir aller plus loin :
x = 1 [2] y = [2] z = [2]
x^2 = 1 [2] y^2 = [2] z^2 = [2]
x^2 + y^2 + z^2 = 3 [2]


Merci de votre aide !


Bien cordialement.
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[gg0]

Bonsoir.

Une fois rajouté les 1 qui manquent ("y = [2] z = [2]" ??), le calcul est bon, mais comme on veut modulo 8, on n'aboutit pas. Il faudrait calculer modulo 8.

Cordialement.

[Le Capitaine Jack Sparrow]

Merci pour votre réponse !

Avec modulo 8 je peux écrire ça :

x impair ===> reste impair dans la division arithmétique par 8

Référence au tableau de la partie a :
Quelque soit le reste impair on a x^2 = 1[8]

Par somme on a :
x^2 + y^2 + z^2 = 3 [8]

Méthode plus simple je trouve, que j'avais déjà tenté tout à l'heure mais j'avais dû faire une erreur car j'étais bloqué. Mais le problème c'est qu'on ne déduit rien de la question 3.a mais on utilise tout de même la partie A.
Mais je pense qu'on est censé utilisé 3.a comme dans la correction, je doute que le correcteur m'accorderait tous les points au bac avec cette réponse.

Cordialement.

[gg0]

A priori, tu n'as pas répondu à la question "en déduire ...", donc tu n'aurais pas les points.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Le Capitaine Jack Sparrow]

Ah oui d'accord, merci pour vos réponses !