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Problème avec les congruences



  1. #1
    StaN_

    Problème avec les congruences


    ------

    Bonjour à tous , j'ai ici un exercice qualifié de difficile par mon prof de maths sur les congruences...
    J'arrive à le résoudre en pratique (c a d en prenant des exemples de suites) , mais là en théorie je bloque complètement

    On pose , n , , et on considère la suite des restes de dans la division par p (a , b et p étant des entiers naturels fixés avec )

    Questions :

    a) Combien existe-t-il de restes distincts possibles ?

    b) En déduire que parmi les nombres , , ... , , il existe deux nombres ayant le même reste . On pourra utiliser "le principe des tiroirs" (ou de Dirichlet) affirmant si on veut ranger k+1 objets dans k boites , au moins une boite contiendra plusieurs objets.

    c) On note m et m+t les deux plus petits rangs des termes de la suite ayant le même reste .

    Ainsi [p] avec et p>0
    Montrer que pour tout entier naturel k , [p] . Que dire de la conjecture ?

    -----------------------------------------------------

    Pour la première question , en prenant une suite
    Je fais un tableau des restes successifs modulo 20 des termes de la suite , et j'aboutit à une séquence de 5 restes qui se répète , mais je n'arrive pas à aller au delà de quelques exemples ...

    Merci d'avance de votre aide , j'espère que vous me mettrez sur la voie

    -----
    Dernière modification par Gwyddon ; 04/11/2006 à 13h16. Motif: balises tex

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  3. #2
    doryphore

    Re : Problème avec les congruences

    Pöur le a) tu sais que quelque soit la suite u_n tu as au plus p restes possibles par la div euclidienne: 0,1,...,p-1.

    Car ce ceci est vrai pour l'ensemble des entiers naturels.

    Le principe du tiroirs t'indique alors que dans une séquence d'au moins p+1 termes de la suite, il y en aura au moins deux qui auront le même reste...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  4. #3
    Gwyddon

    Re : Problème avec les congruences

    Salut,

    Pareil que doryphore, j'ai l'impression que dans le cas général on ne peut pas dire grand chose de plus (j'ai essayé de voir si on peut être plus précis, sans grand succès). Ceci dit, grâce aux tiroirs, cela te permet de justifier la réponse à la question b)

    Pour la c), écris explicitement ce que signifie l'égalité sur u_m et u_(m+t), cela te donnera une caractérisation de t ; ainsi l'égalité que l'on te demande sera immédiate.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  5. #4
    StaN_

    Re : Problème avec les congruences

    Pour la c) , je peux dire ceci :



    De même donc

    PS: Merci à vous deux et à Gwyddon pour les balises

    Est-ce que quelqu'un peut me dire si c'est juste et s'il y a des précisions à ajouter concernant la rédaction

    PS2: Pour le a) , on peut pas dire qu'il y a seulement b restes possibles , et non pas p restes possibles ?
    Car pour tous les exemples que j'ai fais , c'est le cas !

  6. #5
    Gwyddon

    Re : Problème avec les congruences

    C'est parfait

    Pour ce qui est de la a), pourquoi pas ? Reste à le démontrer alors...
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    StaN_

    Re : Problème avec les congruences

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    C'est parfait

    Pour ce qui est de la a), pourquoi pas ? Reste à le démontrer alors...
    Tu as idée de comment le démontrer ? ça sert à quelquechose que je me casse la tête dessus ou c'est trop compliqué et ce n'est pas ce que le prof recherche ?

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  10. #7
    doryphore

    Re : Problème avec les congruences

    C'est parce que tu n'avais pas essayé u_n=n+1 avec p = 2006
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  11. #8
    StaN_

    Re : Problème avec les congruences

    Exact Donc ce que je dis est faux ^^

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