Vérification concernant les congruences

[invitec3d54b1a]

Voici l'énoncé d'un exercice et les réponses que j'ai trouvées , j'aimerais avoir votre consentement quant à la justesse et à la rédaction de celui-ci

1) Démontrer que, , on a

2) Démontrer que , , on a

3) Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de 7^n par 19 ?

4) Demontrer que si a , b et c sont trois entiers naturels consécutifs , alors 7^a + 7^b+7^c est un multiple de 19

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Les réponses que j'ai trouvées :

a)

donc

b)
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[invitec3d54b1a]

c) j'ai fait un tableau de valeurs , et je trouve une séquance de 3 restes , il y a donc 3 restes possibles dans la division euclidienne de 7^3 par 19

SVP quelqu'un peut confirmer

[danyvio]

Tout à fait Thierry (?). Les restes successifs à partit de la puissance 1 : 7,11 et 1, et ce de manière cyclique. Trois valeurs consécutives de l'exposant fournissent toujours en reste modulo 19 les valeurs 7 11 et 1 (dans cet ordre ou non, peu importe) et donc la somme est bien congru à 7+11+1 soit 19 modulo 19 donc 0 modulo 19. CQFD

[invitec3d54b1a]

On peut donc écrire comme ceci :

a+b+c = 7+11+1=19 donc
ce qui revient à est un multiple de 19

Merci de ton aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec3d54b1a]

EDIT:
On peut donc écrire comme ceci :

a+b+c = 7+11+1=19 donc
ce qui revient à est un multiple de 19

Merci de ton aide