Solution non triviale d'un système linéaire

[Pierre]

Bonjour,

Selon la règle de Cramer, ( https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gle_de_Cramer) un système linéaire admet une unique solution si et seulement si sa matrice A est inversible, c'est-à-dire si son déterminant n'est pas nul.

Mais j'ai aussi appris que pour trouver une solution non triviale d'un système linéaire, il faut que son déterminant soit nul.
Je ne sais pas d'où vient cette autre "règle" et semble en contradiction avec la règle de Cramer, pourtant elle marche.

Comment expliquer cette seconde règle "empirique" ?

Merci pour vos éclaircissements

Pierre
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[gg0]

Bonjour.

II s'agit de deux règles mathématiques parlant de situations différentes :
La première parle d'un système général, avec second membre quelconque.
La deuxième du cas particulier d'un second membre nul. Dans ce cas, si le déterminant est non nul, il y a une seule solution, et on la connaît : toutes les inconnues nulles, la solution triviale. Donc si on veut une solution non triviale, il faut que le déterminant soit non nul.

Cordialement.

[Pierre]

Bonjour,

Merci pour votre réponse.
Est-ce que la dernière partie de la dernière phrase ne serait pas plutôt : " [...] il faut que le déterminant soit nul." ?
Dans ce cas, la règle de Cramer n'indique pas une division par zéro ?

[gg0]

Effectivement, il aurait dû y avoir "soit nul". Merci pour la rectification.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Pierre]

Je me suis aussi trompé : ce serait plutôt une division de zéro par zéro.

[Pierre]

Donc 0/0 = plein de solutions, donc aussi celle non triviale.

Donc en résumé, pour un système Ax=0, si det(A) différent de zéro alors solution nulle.
Donc on prend le contraire : det(A) nul pour le contraire d'une solution triviale.

Est-ce qu'il n'y a pas un autre moyen de démontrer : "on choisit le contraire pour avoir le contraire" ?
Est-ce que le contraire d'une solution triviale est une solution non triviale ?
Est-ce que mon raisonnement est défendable ou est-ce je n'ai pas saisi toute la logique de l'explication #2 ?

(Désolé pour toutes ces questions, mais j'essaie de bien comprendre)

[gg0]

Une règle logique classique :
Si A ==> B alors non B ==> non A . (A et B sont des phrases, des propositions)
On appelle cela la contraposition, non B ==> non A est la contraposée de A ==> B.
En logique classique, non non A est A, ce qui fait qu'en contraposant non B ==> non A on obtient A ==> B. Finalement, le propositions (A ==> B) et (non B ==> non A) sont équivalentes.
Reprenons notre système d'équations : Si det(A) <> 0 alors le système a une seule solution, la solution triviale. Par contraposition, si le système a une autre solution que la solution triviale, alors le déterminant est nul.

C'est tout ce qu'on peut peut en tirer par raisonnement logique.

En fait, si det(A) =0, l'une (au moins) des équations est conséquence des autres, donc ne sert à rien dans la résolution. On se retrouve avec un système de n-1 équations à n inconnues, et généralement, en choisissant une des inconnues comme paramètre, on obtient un système qui a au moins une solution. Comme le paramètre a une infinité de valeurs, on a une infinité de solutions.

Je ne sais pas trop quoi dire de ce que tu as écrit, vu que c'est trop imprécis pour pouvoir être commenté : "det(A) nul pour le contraire d'une solution triviale." par exemple n'a pas trop de sens. On ne peut pas raisonner avec des bouts de phrases, on ne peut pas faire des maths avec du français de discussion de copains. D'ailleurs, le mot "contraire" n'est pas utilisé en maths, car trop souple (le "contraire" de "noir" c'est souvent "blanc"), on utilise la négation (La négation de "noir", c'est "pas noir", avec toutes les nuances possibles).

Cordialement.

[Pierre]

Merci beaucoup gg0 pour tes explications limpides et complètes,
c'est exactement ce qu'il me manquait.

Vive Futura-Sciences !