Solution d'un système linéaire

[Bleyblue]

Bonjour,

La solution générale complexe d'un système d'équation différentielle linéaires à coefficients constants est :



C1 C2 des complexes et a,c des réels
Le problème c'est que maintenant je cherche les solutions réelles et non les solutions complexes de ce système.

Il "suffit" pour cela de prendre la partie réelle de cette expression c'est à dire les deux premiers termes (qui sont de toute façon réels) plus la partie réelle de deux derniers
Pour trouver la partie réelle des deux derniers termes j'ai dans mes notes qu'il faut poser que le conjugé de C1 est égale à C2 et alors on se ramène à :



Mais je ne comprend pas du tout pourquoi
Je veux bien qu'il faut C1 barre = C2 (ça se voit en posant y = y barre vu que y est réel) mais d'où sort cette égalité ci dessus ?

merci
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[invitea3eb043e]

Regarde les 2 derniers termes : ce sont des complexes dont la somme est réelle. Cela n'est possible que si les 2 termes sont conjugués, donc si C2 est le conjugué de C1 d'où ton égalité.

[Bleyblue]

D'accord C1 est le conjugé de C2 mais je ne vois pas pourquoi

est égale à



merci

[b@z66]

Ce n'est pas seulement la partie réelle de ta somme qui donne le résultat que tu donnes mais aussi, de manière plus générale, la somme complète(la partie imaginaire de la somme est nulle puisque l'on aditionne des conjugués)

PS: De plus pour montrer que C1 est le conjugué de C2, il suffit d'écrire l'équation qui décrit que la partie imaginaire de la somme des deux termes est nulle: on doit sans doute arriver à une expression qui n'est vraie que si C1 est vraiment conjugué de C2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Mais pour montrer que C1 est le conjugé de C2 je suis parvenu à le voir en posant que y = y conjugé

Ce n'est pas seulement la partie réelle de ta somme qui donne le résultat que tu donnes mais aussi, de manière plus générale, la somme complète

Ah oui juste.
Mais par quelle étrange phénomène le deuxième vecteur disparaît-il ? je ne vois vraiment pas

merci

[b@z66]

Les parties réelles des deux vecteurs sont les mêmes donc pas la peine de réécrire deux fois la même chose dans le résultat final, on se contente de la multiplier par 2 comme on le voit bien.

[b@z66]

Pour prouver que C1=/C2 (conjugué_de_X=/X)

Im(C1.a+C2./a)=0
Im(C1.a)+Im(C2./a)=0
Im(C1.a)-Im(/C2.a)=0 (la partie imaginaire d'un nombre conjugué est opposée à celle du nombre d'origine)
Im(C1.a-/C2.a)=0
Im(a(C1-/C2))=0

Pour que la dernière expression soit vraie quelque soit "a", on doit avoir:
C1-/C2=0 soit C1=/C2.

[invite118c6414]

Tu peux aussi le voir en sachant que et que si je ne me trompe.

Follium

[Bleyblue]

Je regrète mais je ne comprend pas toujours pas malgré des pages de calculs.

J'ai



=



Et alors quoi ? Ca n'a rien à voir avec le résultat ça

(désolé si je suis lent pour comprendre)

merci

[invite5e34a2b4]

Je regrète mais je ne comprend pas toujours pas malgré des pages de calculs.

J'ai



=



Et alors quoi ? Ca n'a rien à voir avec le résultat ça

(désolé si je suis lent pour comprendre)

merci

Salut,
En fait, il suffit de remarquer que ton 2e terme de la somme, c'est exactement le complexe conjugué du premier terme de la somme. Et c'est fini parce que la somme d'un nombre et de son conjugué, c'est sa partie réelle.
J'ai pas le temps d'écrire tout ça en latex, mais ça se voit facilement.
En espérant que ça t'aide.

[invite5e34a2b4]

Et c'est fini parce que la somme d'un nombre et de son conjugué, c'est sa partie réelle.

Petite correction lol : c'est 2 fois sa partie réelle.

[Bleyblue]

Ah mais oui, juste !

Ok merci beaucoup à tous (et désolé je ne suis pas toujours très vif )

[invitea3eb043e]

Quand 2 grandeurs sont conjuguées, elles ont même partie réelle, donc ça revient au même d'écrire la somme des parties réelles ou 2 fois la partie réelle d'un des termes.