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Solution d'un système linéaire



  1. #1
    Bleyblue

    Solution d'un système linéaire


    ------

    Bonjour,

    La solution générale complexe d'un système d'équation différentielle linéaires à coefficients constants est :



    C1 C2 des complexes et a,c des réels
    Le problème c'est que maintenant je cherche les solutions réelles et non les solutions complexes de ce système.

    Il "suffit" pour cela de prendre la partie réelle de cette expression c'est à dire les deux premiers termes (qui sont de toute façon réels) plus la partie réelle de deux derniers
    Pour trouver la partie réelle des deux derniers termes j'ai dans mes notes qu'il faut poser que le conjugé de C1 est égale à C2 et alors on se ramène à :



    Mais je ne comprend pas du tout pourquoi
    Je veux bien qu'il faut C1 barre = C2 (ça se voit en posant y = y barre vu que y est réel) mais d'où sort cette égalité ci dessus ?

    merci

    -----

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Solution d'un système linéaire

    Regarde les 2 derniers termes : ce sont des complexes dont la somme est réelle. Cela n'est possible que si les 2 termes sont conjugués, donc si C2 est le conjugué de C1 d'où ton égalité.

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Solution d'un système linéaire

    D'accord C1 est le conjugé de C2 mais je ne vois pas pourquoi

    est égale à



    merci

  5. #4
    b@z66

    Re : Solution d'un système linéaire

    Ce n'est pas seulement la partie réelle de ta somme qui donne le résultat que tu donnes mais aussi, de manière plus générale, la somme complète(la partie imaginaire de la somme est nulle puisque l'on aditionne des conjugués)

    PS: De plus pour montrer que C1 est le conjugué de C2, il suffit d'écrire l'équation qui décrit que la partie imaginaire de la somme des deux termes est nulle: on doit sans doute arriver à une expression qui n'est vraie que si C1 est vraiment conjugué de C2.
    Dernière modification par b@z66 ; 22/12/2007 à 13h42.
    La curiosité est un très beau défaut.

  6. #5
    Bleyblue

    Re : Solution d'un système linéaire

    Mais pour montrer que C1 est le conjugé de C2 je suis parvenu à le voir en posant que y = y conjugé

    Ce n'est pas seulement la partie réelle de ta somme qui donne le résultat que tu donnes mais aussi, de manière plus générale, la somme complète
    Ah oui juste.
    Mais par quelle étrange phénomène le deuxième vecteur disparaît-il ? je ne vois vraiment pas

    merci

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    b@z66

    Re : Solution d'un système linéaire

    Les parties réelles des deux vecteurs sont les mêmes donc pas la peine de réécrire deux fois la même chose dans le résultat final, on se contente de la multiplier par 2 comme on le voit bien.
    La curiosité est un très beau défaut.

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  10. #7
    b@z66

    Re : Solution d'un système linéaire

    Pour prouver que C1=/C2 (conjugué_de_X=/X)

    Im(C1.a+C2./a)=0
    Im(C1.a)+Im(C2./a)=0
    Im(C1.a)-Im(/C2.a)=0 (la partie imaginaire d'un nombre conjugué est opposée à celle du nombre d'origine)
    Im(C1.a-/C2.a)=0
    Im(a(C1-/C2))=0

    Pour que la dernière expression soit vraie quelque soit "a", on doit avoir:
    C1-/C2=0 soit C1=/C2.
    La curiosité est un très beau défaut.

  11. #8
    Follium

    Re : Solution d'un système linéaire

    Tu peux aussi le voir en sachant que et que si je ne me trompe.

    Follium
    Follium

  12. #9
    Bleyblue

    Re : Solution d'un système linéaire

    Je regrète mais je ne comprend pas toujours pas malgré des pages de calculs.

    J'ai



    =



    Et alors quoi ? Ca n'a rien à voir avec le résultat ça

    (désolé si je suis lent pour comprendre)

    merci

  13. #10
    justine&coria

    Re : Solution d'un système linéaire

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    Je regrète mais je ne comprend pas toujours pas malgré des pages de calculs.

    J'ai



    =



    Et alors quoi ? Ca n'a rien à voir avec le résultat ça

    (désolé si je suis lent pour comprendre)

    merci
    Salut,
    En fait, il suffit de remarquer que ton 2e terme de la somme, c'est exactement le complexe conjugué du premier terme de la somme. Et c'est fini parce que la somme d'un nombre et de son conjugué, c'est sa partie réelle.
    J'ai pas le temps d'écrire tout ça en latex, mais ça se voit facilement.
    En espérant que ça t'aide.

  14. #11
    justine&coria

    Re : Solution d'un système linéaire

    Citation Envoyé par justine&coria Voir le message
    Et c'est fini parce que la somme d'un nombre et de son conjugué, c'est sa partie réelle.
    Petite correction lol : c'est 2 fois sa partie réelle.

  15. #12
    Bleyblue

    Re : Solution d'un système linéaire

    Ah mais oui, juste !

    Ok merci beaucoup à tous (et désolé je ne suis pas toujours très vif )

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  17. #13
    Jeanpaul

    Re : Solution d'un système linéaire

    Quand 2 grandeurs sont conjuguées, elles ont même partie réelle, donc ça revient au même d'écrire la somme des parties réelles ou 2 fois la partie réelle d'un des termes.

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