Bonjour,
j'ai un dm que je n'arrive pas à le faire. pouvez vous m'aider s'il vous plait?
On souhaite étudier les suites vérifiant Un+1 = Un + 1/Un pour tout n>=0 et U0 >0.
On admet que cela définit bien une suite dont tous les termes sont strictement positifs.
1) dans cette question uniquement on fixe u0 = 1. Déterminer les 5 premiers termes de (Un).
U0 = 1 donc U1 = 1 + 1/1 = 2
U2= U1+1/U1 = 2 + 1/2 = 5/2
U3= U2 + 1/U2 = 5/2 + (1/5/2)= 5/2+ 2/5 = 29/10
U4 = U3 + 1/U3 ....
2) Démontrer que la suite est strictement croissante
Un+1 - Un = Un + 1/Un - Un
Un+1 - Un = 1/Un et comm Un > 0 donc 1/Un > 0 d'où Un+1 -Un > 0 donc la suite Un est strictement croissante
3) en déduire que la suite est minorée et donner un minorant
je suis pas sûre : on sait que la suite est croissante et que le plus petit terme est U0 donc le minorant est égal à U0.
4) On souhaite montrer que la suite (Un) n'est pas majorée. Pour cela on introduit la suite (Vn) définie par Vn = Un² .
a) Démontrer que pour tout entier n>= 0, Vn+1 >= Vn + 2 je sais pas faire
b) On note Pn la proposition Vn >= V0 + 2n . Déduire de la question précedente que pour tout entier n>=0 , Pn implique Pn+1. Je sais pas faire
c) Vérifier que P0 est vraie.
On a V0 >= V0 + 2*0 d'où V0>= V0 donc vraie
d) On admet que cela prouve que pour tout n>=0 , Vn>= V0+ 2n.
e) En déduire que que pour tout n>=0, UN>=racine carré (2n + U0²)
On sait que Vn>= V0 + 2n mais aussi que Vn = Un² donc Un² >= U0² + 2n donc Un>= racine carré (U0² + 2n) .
f) Conclure sur le caractére non majorée de (Un).
5) Quelle conjecture peut-on faire sur la suite de terme générale Un - racine carré (2n) ? (majorée , minorée, convergente, limite éventuelle ) ?
Merci beaucoup de votre aide
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