Hérédité d'une récurrence avec des inéquations du second degré

[Victor Curie Ismard]

Bonjour, je m'appel Victor et je suis en Terminale cette année.
J'ai pour but personnel de démontrer l'irrationalité du nombre racine de 2. Seulement, je voudrais le faire par récurrence. Si vous vous demandez pourquoi utiliser cet outil qui ne paraît pas le mieux adapter au problème, sachez que je voudrais à terme créer un algorithme sur ordinateur qui puisse générer une démonstration de n'importe quel problème arithmétique "simple", et j'ai l'intuition que la récurrence et l'outil crucial pour faire cela.
Bref, je me suis heurté à un problème que voici :

On suppose qu'il existe un p dans N* tel que pour un certain n dans N* : 2p² < n² < 2(p+1)²
Et on cherche à démontrer qu'il existe un p' dans N* tel que : 2p'² < (n+1)² < 2(p'+1)²

Je sais que l'on peut démontrer cela car la résolution de ce problème est la pièce manquante (et d'ailleurs principale) de ma démonstration par récurrence.
D'ailleurs, j'ai essayer de travailler sur un problème simplifié où j'enlève les carrés et où je ne travaille seulement sur des inéquations du premier degrés, et j'y arrive ! Ici, c'est le second degrés qui me pose problème.
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[Matmat]

Bonjour, à quoi servent ces encadrements ?

tu pourrais partir de p² - 2q² = 0 puis descente infinie de Fermat

[gg0]

Bonjour.

C'est très bien d'avoir des idées et d'essayer de les concrétiser. Par contre, ce que tu veux démontrer est équivalent à l'irrationalité de 2. En effet, une fois placés les n² dans la liste des entiers, les 2p² se placent strictement entre les précédents sauf s'il y a une coïncidence, s'il existe un n et un p tels que n²=2p². Or c'est justement ce dont tu veux prouver que ça n'arrive pas.
Une remarque plus générale : Une preuve d'existence (ici, "il existe un p' ...") peut se faire par récurrence (*) si on a le moyen d'expliciter la valeur suivante (ici p') en fonction de la valeur donnée (ici p). Tu verras en essayant avec des valeurs simples qu'il n'y a pas de règle simple. Pour des petites valeurs de n, en général p'=p+1, mais ce n'est pas toujours le cas, parfois p'=p. C'est une bonne habitude, en arithmétique, de regarder ce qui se passe pour des valeurs connues.

Cordialement.

(*) mais c'est rarement le bon moyen.