Démonstration dérivée fonction exponentielle via raisonnement récurrence (problème avec l'hérédité)

[Lilly45]

Bonjour à toutes et à tous !

Notre prof nous a donné un DM pour ces vacances de la Toussaint assez difficile dans la mesure où on se retrouve confrontés, seuls, à des choses qu'on a pas vraiment faites en cours.
On vient à peine de commencer le chapitre sur les fonctions exponentielles, on a brièvement vu le raisonnement par récurrence (pour démontrer qu'une suite est croissante, majorée, ce genre de choses) et là il nous demande, via un raisonnement par récurrence, de démontrer que la fonction dérivée de
x =>e^nx
est
x => ne^nx
sur N pour tout n.

J'ai réussi l'initialisation. Mais je galère pour l'hérédité.
J'en suis à là :
Supposons que la propriété est vraie au rang n pour un n quelconque pour n appartenant à N cad que n*e^nx est bien la fonction dérivée de e^nx
Montrons que (n+1)e^(n+1)*x est bien la fonction dérivée de e^(n+1)*x

Vous pouvez me donner des pistes pour la suite svp ?

(si il y a pb d'écriture n'hésitez pas à me le dire, si vous avez un doute, et je suis en Terminale S)

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[Matt_error]

Il suffit de bien comprendre l'enjeu : dériver exp((n+1)x) et voir que c'est bien ce qu'on souhaite.
Pour ça, ne vois-tu pas une propriété de l'exponentielle, surement vu en cours, qui pourra t'aider à dériver plus facilement?

EDIT : c'est pas très clair ce que j'ai dit... Si tu vois pas, je te donne un autre indice

[Lilly45]

Oui je connais la formule, il faut juste dériver au rang n+1 l'expression d'exponentielle de x pour voir qu'il s'agit en effet de la fonction dérivée d'exponentielle de x au rang n+1 ?
on démontre rien en faisant ça j'ai l'impression. (j'ai déjà noté ça, ça tient en une ligne..)

[Matt_error]

J'ai pas bien compris ta question, en fait.
Il faudrait transformer exp((n+1)x) en une forme qu'on sait dériver et utilisant la récurrence

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lilly45]

"en une forme qu'on sait dériver" c'est à dire revenir à un rang n ? car il n'y a qu'au rang n qu'on sait dériver grâce à l'axiome de récurrence.
(merci d'avoir répondu je suis vraiment perdue là)

EDIT :je galère à trouver le raisonnement pour mettre à bien une hérédité dans mon raisonnement par récurrence. C'est pas vraiment une question, j'ai besoin de "pistes" svp

[Matt_error]

Oui, c'est ca ! Il faut donc faire apparaitre exp(nx) qui sera facile a dériver

[Matt_error]

as-tu déjà bien compris le principe d'une récurrence?
Je pense que oui, mais on sait jamais

[Lilly45]

et je sais pas comment faire apparaître exp(nx) dans e^(n+1)x. J'en ai vraiment aucune idée. Aidez-moi s'il vous plaît

EDIT : oui je l'ai bien compris, mais dans ce cas là je sais pas comment utiliser le principe de récurrence.

[Matt_error]

exp((n+1)x)=exp(nx+x)=...

[Lilly45]

ok après je dérive, j'ai donc nx+x*e^(nx+x)
qui vaut bien (n+1)x*e^(n+1)*x
et... je vois pas la logique

[Matt_error]

non non attention il y a plusieurs erreurs. (mauvaise dérivation , meme hors du cadre de la récurrence, et pas d'utilisation de l'axiome)
Du coup ultime indice : exp(a+b)=exp(a)*exp(b)

[Lilly45]

je la connaissais pas cette formule ><
ok merci

[Matt_error]

Ah, oui, c'est compliqué sans...^^
Vous ne l'avez pas encore vu en cours?

[Lilly45]

Non, on a écrit une demi page sur les exponentielles, on a quasiment rien fait dessus. Notre prof veut nous faire réfléchir, mais sans les outils ... c'est impossible.
je vais vous écrire ce que j'ai réussi à faire toute à l'heure, merci

[gg0]

je la connaissais pas cette formule ><
ok merci

Sous la forme e^a+b=e^ae^b, elle est pourtant connue depuis la fin du collège.

Cordialement.

[Matt_error]

Je suis d'accord, mais j'ai cru entendre que certains n'aimaient pas qu'on considère "exp" comme un nombre à la puissance mais plutot comme une fonction à "part entiere" (si ce que je dis est flou, c'est précisément parce que j'étais moyennement d'accord avec). Et dans ce cas, pourquoi démontrer ce résultat en cours ? (avec différentes méthodes suivant la définition de exp )

[Lilly45]

n*e^n*x * e^x

ça c'est la dérivée d'exponentielle au rang n+1
ici j'ai démontré qq chose ?

[Matt_error]

prends x=0 et dis moi si n*exp(nx)*exp(x) est pareil que(n+1)exp((n+1)x)
T'en conclus quoi?

edit: pour info, exp(0)=1

[Lilly45]

la dérivée est nulle donc la fonction doit être constante
et en effet elle l'est
ouais ok mais ça je dois le noter dans l'hérédité ?! on a jamais écrit des cas précis dans l'hérédité pr démontrer quoi que ce soit ...

[Matt_error]

Non, je me suis pas fait comprendre...
on te demande de montrer que la dérivée c'est (n+1)exp((n+1)x). Or, toi tu trouves n*exp(nx)*exp(x). La question qui doit te venir a l'esprit est : est-ce que le résultat est le même? Donc tu prends x=0 et tu vois que c'est pas la même chose, donc que tu t'es trompé...

et voila l'indice (uv)'=vu'+uv'

[Lilly45]

Ok. Non c'est moi qui a rien compris.
mais là je viens de voir la grosse erreur que j'ai faite.
Du coup ça nous donne :
exp(x)*exp'(nx) + exp(nx)*exp'(x)

exp(x)*nexp(nx) + exp(nx)*exp(x)

on factorise?

[Matt_error]

à toi l'honneur

[Matt_error]

la dérivée est nulle donc la fonction doit être constante
et en effet elle l'est
ouais ok mais ça je dois le noter dans l'hérédité ?! on a jamais écrit des cas précis dans l'hérédité pr démontrer quoi que ce soit ...

Même si j'ai pas suivis ton raisonnement, j'ai peur que tu aies oublié qu'on considère n fixe. C'est bien f(x)=exp((n+1)x) et non pas une fonction qui à n associe exp(...). Faut bien être clair avec ca, surtout.

[Lilly45]

exp(x)*((nexp(nx)+exp(nx))

Merci merci

du coup la dérivée au rang n+1 vaut bien 1 pour n=0
Et je montre ça comment ?

[Lilly45]

Ok, c'est clair maintenant.
oublie le message mon raisonnement était illogique car j'avais mal compris un truc important (j'ai la flemme de détaller)

[Matt_error]

Nous voilà dans la confusion à laquelle je faisais référence.

au rang "n+1", on étudie f(x)=exp((n+1)x)
on veut montrer que f'(x)=(n+1)exp((n+1)x)

or tu avais trouvé f'(x)=n*exp(nx)*exp(x) . Bien sur, ce résultat est faux. Pour t'en convaincre, je t'ai proposé de prendre x=0 et de voir que n*exp(nx)*exp(x) est différent de (n+1)exp((n+1)x). Il n'y pas de cas particulier !! C'est comme si tu me disais, on a g(x)=2x et h(x)=3x et que tu m'affirmais g(x)=h(x) pour tout x. Alors, je te dis : ah et pour x=1?
h(1) différent de g(1) donc h(x) différent de g(x) pour tout x

[Lilly45]

merci là c'est bien clair

au rang "n+1", on étudie f(x)=exp((n+1)x)
on veut montrer que f'(x)=(n+1)exp((n+1)x)

on a dérivé f(x) au rang n+1
et on s'est retrouvés avec au final
exp(x)*((nexp(nx)+exp(nx))

ou exp(x)*nexp(nx)+exp(x)*exp(nx)

pour voir si nos deux expressions sont égales et que (n+1)exp((n+1)x) est bien la dérivée de exp((n+1)x) on peut prendre n=0 par exemple
et on trouve une dérivée nulle
donc c'est vrai pour tout n
c'est ça ?

[Matt_error]

1) "on a dérivé f(x) au rang n+1 "
Ca veut rien dire. A chaque étape, la fonction change. Ce n'est pas la même : pour n=1 on a f_1(x)=exp(x) pour n=N on a f_N(x)=exp(Nx) (les "_." sont des indices) Ce n'est jamais la même fonction.

2) "pour voir si nos deux expressions sont égales et que (n+1)exp((n+1)x) est bien la dérivée de exp((n+1)x)"

Pas de besoin de le vérifier !! vous venez de le démontrer... (et y a juste une factorisation à faire)

3)"on peut prendre n=0"
En aucun cas... n est fixé quand on étudie à un certain rang. D'ailleurs, on dit bien "on suppose que la propriété est vraie à l'étape n"

[Matt_error]

Je refais le raisonnement pour voir où ca va pas.
à l'étape n+1 : on pose g(x)=exp((n+1)x)
étudions g', dérivée de g.
quelque soit x dans [R, apres certains calculs,
g'(x)=exp(x)*((nexp(nx)+exp(nx )) (1)
g'(x) =exp(x)*((n+1)exp(nx)) (2)
g'(x) =(n+1)exp(nx+x) (3)
g'(x) =(n+1)exp((n+1)x) (4)
COnclusion

dites moi a quel numéro vous ne voyez pas pourquoi on affirme la ligne suivante

[Lilly45]

Initialisation
Pour n=0 la propriété est vraie car
exp(0x)=1 et la dérivée d'une fonction constante vaut 0
Or 0*exp(0*x)=0

Hérédité
Supposons que la propriété est vraie au rang n, pour un n quelconque, pour tout n appartenant à N, c'est à dire que nexp(nx) est bien la fonction dérivée de exp(nx)
Au rang "n+1", on étudie donc f(x)=exp((n+1)x)
f'(x)= (n+1)exp((n+1)x)

exp((n+1)x) = exp(nx+x)
comme exp(a+b) = exp(a)* exp(b)
on a exp(nx + x)= exp(nx) * exp(x)
donc f'(x) = (uv)' = vu' + uv' = exp(x)*(nexp(nx)) + exp(x)*exp(nx)

donc f'(x) = exp(x)*((nexp(nx)+exp(nx))

<=> (n+1)exp((n+1)x)


Donc d'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout n