Question de trigonométrie

[Nerva]

Bonjour.

Petit problème de trigonométrie...



Connaissant b, c, d et E (sachant que E1 = E2) :

a = b × (c ÷ cos(E ÷ 2)) ÷ (d ÷ cos(E ÷ 2))

Comment trouver E, connaissant b, c et d ?

Merci.
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[f6exb]

Bonjour,
Tu divises les triangles en deux triangles rectangles.
Tu peux en calculer l'hypoténuse, puis E/2.
Ou la tangente de E/2.

[gg0]

Bonjour.

Ta formule est bizarre, car le cos(E/2) se simplifie. Et une fois simplifiée, c'est simplement le théorème de Thalès (triangles homothétiques). Et elle ne permet pas de trouver E.
Sinon, connaissant b,c et d, on ne peut pas trouver E; même avec a, car soit a=b*c/d, et on ne sait rien de plus, soit a n'est pas égal à b*c/d, et la figure n'existe pas.
Pourquoi ne peut-on pas ? Parce que si on appelle A le sommet commun des deux tringles en rouge, on peut déplacer A sur la droite en pointillés, en conservant le segment de longueur b. On ne change ni b, ni c ni d, ni même a qui est fixé par les valeurs de b, c et d. Pourtant l'angle E=E1=E1 varie.
N'y aurait-il pas des renseignements supplémentaires, soit que tu n'as pas copiés sur la figure, soit qui sont ailleurs dans l'énoncé ? par exemple que les triangles sont isocèles ?

Cordialement.

[Nerva]

C'est dans la pratique une question d'optique appliquée à l'acuité visuelle (le schéma n'est donc pas à l'échelle).

On sait que :

c = 250 mm
d = 17 mm
b = 0.004 mm
E = 0.0003 rad

c = distance d'observation minimale
d = focale de l'oeil
b = diamètre et espacement moyen entre les cônes sur la fovéa.
E = angle de résolution pour une acuité visuelle de 10/10, prenant en compte qu'il correspond à 0.0003 rad lorsque b = 0.004 mm.

On sait qu'une acuité visuelle supérieure est dépendante de la taille des cônes, qui ont alors un diamètre et un espacement inférieurs à 0.004 mm.

Grâce à la formule b × (c ÷ cos(E ÷ 2)) ÷ (d ÷ cos(E ÷ 2)) on trouve la hauteur a, qui est le diamètre minimal d'un point noir visible sur un fond blanc avec une acuité visuelle de 10/10 (les angles sont d'ailleurs tellement petits qu'on peut négliger les calculs d'hypothénuse).

Ce que je recherche donc, c'est à trouver E à partir de b (en conservant c et d constants).

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Si tes triangles rouge sont isocèles, le calcul est possible. Donc "si on regarde bien en face", la méthode de F6exb fonctionne, par trigonométrie élémentaire, tan(E/2)=(b/2)/d = b/(2d)
C'est du calcul de fin de collège.
Si cette hypothèse n'est pas vérifiée, on ne peut plus rien dire.

Encore une fois, ta formule est idiote ! On n'a pas besoin de E pour calculer a.
Je l'écris comme on le fait quand on apprend à calculer les fractions à 13 ans :

par simplification de facteurs égaux au numérateur et au dénominateur.
Et c'est le classique théorème sur la proportionnalité des côtés parallèles de deux triangles opposés par le sommet :

[ArchoZaure]

Bonjour.

Je ne suis pas certain d'avoir bien compris le problème mais d'un point de vue pratique, pour connaitre E (E1=E2=E) on a besoin de connaitre que b et d .

(1)
h étant l’hypoténuse du triangle rectangle formé par la moitié du triangle à droite.
Or
(2)

On en déduit
(3)

Selon (1)
On fait un Arccos des deux côtés.






Donc ici avec votre dessin.
d=3.9
b=2.5
E=35.5° environ

[gg0]

Archosaure,

tu supposes les triangles en rouge isocèles. Ce qui ne me choque pas, mais j'ai posé deux fois la question à Nerva (c'est son problème) sans avoir de réponse.
Lit-il nos réponses ???

Et si c'est isocèle, un arctangente diminue la longueur des calculs : E= 2 arctan (b/(2d)). Et on trouve 0,0135°.

Cordialement.

[Nerva]

Je ne suis pas allé jusqu'à la fin du collège, ce qui règle la question...

Avec d = 17 et b = 0.004, la représentation à l'échelle est évidemment impossible. Mais les triangles sont forcément isocèles vu qu'il s'agit d'un système centré sur l'axe optique.

On n'a effectivement pas besoin de E pour calculer A :

b × c ÷ d

Est suffisant. Mais de manière formelle, c n'est pas égal à l'hypothénuse et c'est pourquoi je l'ai souligné. Je n'avais d'ailleurs pas besoin de préciser ce calcul en guise d'introduction, mais ce qui est fait est fait.

Ce dont on est sûr, c'est que d est invariable (c l'est dans la pratique également puisque c'est le plus souvent 250 mm qui est choisi) et que E1 et E2 sont identiques.

[gg0]

Je ne suis pas allé jusqu'à la fin du collège

Alors il va te manquer des mathématiques ultra-basiques, ce serait bien que tu regardes un cours de troisième (théorèmes de Thalès et Pythagore, trigonométrie élémentaire)

On n'a effectivement pas besoin de E pour calculer A :

b × c ÷ d

Est suffisant. Mais de manière formelle, c n'est pas égal à l'hypoténuse

On s'en fout, d'ailleurs, il n'y a pas d'hypoténuse, seulement des triangles semblables (homothétiques) opposés par le sommet.

En attendant que tu ais vraiment étudié les maths de troisième, tu peux utiliser la formule que je t'ai donnée, bien plus stable que celle de Archozaure (il a dû faire une erreur en cours de route) qui demande d'évaluer un angle dont le cosinus est quasiment 1, ce qui est source d'erreur.

Cordialement.

[ArchoZaure]

En attendant que tu ais vraiment étudié les maths de troisième, tu peux utiliser la formule que je t'ai donnée, bien plus stable que celle de Archozaure (il a dû faire une erreur en cours de route) qui demande d'évaluer un angle dont le cosinus est quasiment 1, ce qui est source d'erreur.

Non en fait c'est pas ça, enfin je pense, la formule au moins doit être bonne en tous cas.
J'ai pris un décamètre pour mesurer le dessin que je croyais à l'échelle et j'en ai retiré b et d (et vérifié après calcul de E visuellement la validité de la formule du coup)
Donc avec les valeurs b=0.004 et d=17 ça me donne 0,0134936°
Mais je suis d'accord que la version avec Arctan est bien meilleure, et ce pour toutes les raisons invoquées (simplicité et moins d'erreur d'arrondis éventuels).

[non bwana]

J'ai pris un décamètre pour mesurer le dessin que je croyais à l'échelle .

Une chaîne d'arpenteur ? Mais quelle est donc cette sorte d'écran ? Gargantua, sors de ce corps !

[Nerva]

J'ai repris depuis le début avec une représentation simple (copie d'écran LO Calc). Ça semble correct.

[Nerva]

...et avec AH = 17 et BC = 0.004 :