Formule pour le nombre de partitions commencant par un terme donné

[Liet Kynes]

Bonjour,

Je sais que cette formule existe mais ja ne la retrouve plus, je crois qu'elle date du 18 ou 19ème et était trouvée par un religieux.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Partition_d%27un_entier

Lé définition donnée par wikipedia :" En mathématiques, une partition d'un entier (parfois aussi appelée partage d'un entier^1,2) est une décomposition de cet entier en une somme d'entiers strictement positifs (appelés parties ou sommants), à l'ordre près des termes (à la différence du problème de composition tenant compte de l'ordre des termes). Une telle partition est en général représentée par la suite des termes de la somme, rangés par ordre décroissant"

Par exemple pour le nombre 5 on trouve 7 partitions qui rangées dans l'ordre indiqué ci dessus donnent une partition commençant par 1 =1 ,2 commençant par 2 ,2 commençant par 3, une commençant par 4 et une commençant par 2.

J'ai cela sur tableur (cf PJ) mais pas moyen de retrouver la formule sur le net, quelqu'un se souvient de ce mathématicien et de sa formule ?
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[gg0]

Lis l'article Wikipedia que tu cites, mais il n'y a pas de formule générale.

[Liet Kynes]

On parle bien de la même chose ? les nombres de partitions commençant pas n-k, avec 0<k⩽n, pour un n donné?

[gg0]

Pas tout à fait, Mais comme déjà le nombre de partitions ne se calcule pas par une formule, mais par un algorithme ... et c'est dit par Wikipédia.
Ne confondrais-tu pas avec les nombres de Stirling de deuxième espèce ? Qui concernent les partitions d'un ensemble.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Liet Kynes]

Non , c'est bien parmi le nombre de partitions d'un entier de chercher le nombre k de partition qui commence par 1,par 2 .. jusqu'à k=n
Pour n=16, le nombre de partitions qui commencent par 7 est égal à 28, 28 est la somme des partitions de 9 qui commencent par 1 jusqu'à 7: pour un nombre n le nombre de partitions qui commencent par k est la somme des partitions qui commencent par 1 jusqu'à k du nombre n-k, l'idée et que l'on peut remonter comme cela jusqu'à 1 et formuler.
Je mets un fichier pour illustrer dans lequel l'exemple nombre de partitions qui commencent par k=7 et mis en valeur pour n=16:n=16 et k=7.ods

p(n,k)	n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
k
1		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2				1	1	2	2	3	3	4	4	5	5	6	6	7	7	8
3					1	1	2	3	4	5	7	8	10	12	14	16	19	21
4						1	1	2	3	5	6	9	11	15	18	23	27	34
5							1	1	2	3	5	7	10	13	18	23	30	37
6								1	1	2	3	5	7	11	14	20	26	35
7									1	1	2	3	5	7	11	15	21	28
8										1	1	2	3	5	7	11	15	22
9											1	1	2	3	5	7	11	15
10												1	1	2	3	5	7	11
11													1	1	2	3	5	7
12														1	1	2	3	5
13															1	1	2	3
14																1	1	2
15																	1	1
16																		1

[gg0]

Alors je ne connais pas. Mais comme tu es mieux informé que moi, tu vas chercher à partir de tes informations ....

[Liet Kynes]

Je ne prétends pas cela, si je retombe dessus, je mettrai le lien. C'est une formule à rallonge pas vraiment utilisable.

[gg0]

Alors quel intérêt de la demander ?

[Liet Kynes]

J'essaie de comprendre ce que j'ai fait par rapport à ce qui est dans wikipedia:
Wikipedia donne p(n,k)=p(n-k,(k-(k-1)) +...+ p(n-k,k) alors que dans mon tableur, j'ai la relation : p(n,k)=p(n-k,(k-(k-1)) +...+ p(n-k,k) mais je ne suis pas sur d'avoir bien formulé, c'est pour cela que je cherche cette formule, je suis persuadé qu'elle existe et qu'elle m'a été donnée au cours d'une discussion mais pas moyen de remettre la main dessus.
Le résultat reste équivalent,exemple avec p(13,5)

Wikipedia: p(n,k)=p(n-k,(k-(k-1)) +...+ p(n-k,k)->P(13,5)=p(12,4)+p(8,5)=15+3 =18

et dans mon développement :
p(n,k)=p(n-k,(k-(k-1)) +...+ p(n-k,k)->P(13,5)=p(13-5,(6-5))+p(13-5,(5-(5-2)))+p(13-5,(5-(5-3)))+p(13-5,(5-(5-4)))+p(13-5,5)=p(8,1)+p(8,2)+p(8,3)+p(8, 4)+p(8,5)=1+4+5+5+3=18

[gg0]

Tu écris deux fois la même formule :
p(n,k)=p(n-k,(k-(k-1)) +...+ p(n-k,k)
p(n,k)=p(n-k,(k-(k-1)) +...+ p(n-k,k)
La formule "de Wikipédia" de ton document attaché est plus "simple" (deux termes seulement) et donne, en la réappliquant ((à n-1, puis n-2, ...) la formule que tu cites. Donc les deux formules sont équivalentes.

[Liet Kynes]

Oui, je corrige la formule de Wikipédia est p(n,k) = p(n–1, k–1) + p(n–k, k), équivalent effectivement à ce que j'ai (je sais pas si je l'ai bien formulé).
La formule qui donne un p(n,k) sans connaître p(n–1, k–1) ni p(n–k, k) doit pouvoir se formuler à partir des conditions initiales ?

[gg0]

Manifestement non, sinon elle serait utilisée à la place de la récurrence.

[Liet Kynes]

Avec la formule que j'utilise, il est possible de déduire tout p(n,k) en ayant juste la valeur de p(0,1) et p(1,1) ce qui est difficile à justifier par contre c'est p(0,1) avec donc n=0 et k=1 puisque k est défini comme le nombre de partitions commençant par k: cela signifierait que pour le nombre de partitions de l'entier 0 il existe une partition avec pour premier sommant 1 !
Il faut une pirouette logique pour retomber sur ses pieds, peut-être que les sommants peuvent être être représentés avec l'opération 1*0, 1*1, 1*2.. il y a une subtilité a établir. Si je me passe de p(0,1) cela ne tient plus.

[Liet Kynes]

Pour illustrer dans le fichier joint suivant il faut juste mettre 1 dans la case rouge p(0,1)

[Liet Kynes]

J'ai trouvé, il faut créer un p(n,k) avec n=0 et k=0 -> p(0,0)=1

k est compris entre 0 et n et k =le nombre de partitions de n commençant par k cela permet de dire que pour 0 il existe une partition de 0 qui commence par 0.
C'est du chipotage mais cela fait tenir la formule.

J'ai corrigé ma précédente PJ du coup.