Fractions

[ceddesm]

Bonjour,

Mon fils (14 ans) prétend que si la somme de deux fractions positives et irréductibles égale 1, alors les deux fractions ont obligatoirement le même dénominateur.
Cela se démontre-t-il ?
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[trebor]

Bonjour,

Mon fils (14 ans) prétend que si la somme de deux fractions positives et irréductibles égale 1, alors les deux fractions ont obligatoirement le même dénominateur.
Cela se démontre-t-il ?

Erreur attendre la réponse.

[gg0]

Bonjour.

Effectivement, ça se démontre :

On considère les 4 entiers a, b, c et d strictement positifs tels que

et a et b premiers entre eux, c et d aussi.
donc


Comme a et b sont premiers entre eux, a divise (d-c), donc pour un certain entier k. En remplaçant dans l'égalité ci-dessus : donc .
On en déduit d-k a = c soit c=k b-k a=k(b-a) et donc

et, comme cette fraction est irréductible, c'est que k=1 donc d=b. CQFD

Cordialement.

[epiKx]

Bonjour
Avec des fractions juste positives ça ne marche plus...
Cdt
Passez de bonnes fêtes

[A voir en vidéo sur Futura]

[epiKx]

Édit: non j'ai dit une bêtise

[epiKx]

Ça marche avec positive mais ça marche plus avec entiers quelconques...
Preuve:

 Cliquez pour afficher

mais

et les fractions sont irréductibles

Marche aussi pour entiers non nuls

[gg0]

Effectivement,

mais comme il est de tradition d'écrire les fractions irréductibles avec un dénominateur positif, je n'ai pas tenu compte de ces cas.

[epiKx]

Je reconnais que c'est un peu tordu de ma part...
Il est aussi d'usage de faire attention à a différent de 0 quand on simplifie par a (idem pour k) mais bon c'est le 31 c'est la fête pas de problème...

[gg0]

Heu ... a était pris strictement positif.

J'ai retraduit l'énoncé avec ce qu'apprennent les élèves de 14 ans. Il s'agissait d'un énoncé en langue courante, j'en ai fait un énoncé mathématiquement précis.
Après, on peut pinailler ... par exemple ne pas prendre a, b, c et d entiers :


Mais ça n'est pas une réponse à Ceddesm. Quelle que soit la date.

Finis bien l'année !

[epiKx]

Bonsoir gg0,
Oui dans un premier temps, j'ai regardé l'énoncé: j'ai distingué "positif" et "strictement positif". D'où mon erreur...
Cdlt

[MissJenny]

je pense qu'on peut démontrer un résultat plus fort, à savoir que si 1 est la somme de k rationnels positifs q1,...,qk alors il existe un entier n et k entiers n1, nk tels que n1+...+nk = n et qi = ni/n

[epiKx]

@MissJenny Pourrait-on se passer d'une recurrence? ("forte" visiblement)

[gg0]

Bonjour.

Pas besoin de récurrence pour la formulation de MissJenny (elle a oublié une condition) : les rationnels q_i étant représentés par les fractions N_i/D_i, on prend pour n le produit des d_i, et n_i est simplement N_i multiplié par le produit des D_j pour j différent de _i (réduction au même dénominateur). La vraie difficulté est de montrer qu'on peut simplifier ce dénominateur commun de façon que toutes les fractions n_i/n soient irréductibles. À vrai dire, je n'en suis pas sûr.

Peut-on prouver : "si 1 est la somme de k rationnels positifs q₁,...,q_k alors il existe un entier n et k entiers n₁, ... n_k tels que n₁+...+n_k = n et q_i = n_i/n avec n_i et n premiers entre eux" ?

Cordialement.

[MissJenny]

fractions irréductibles je ne pense pas. En fait je pensais à la décomposition 1 = 1/4 + 1/4 + 1/2 qu'on peut réécrire 1 = 1/4 + 1/4 + 2/4. A mon avis (intuitif) toutes les décompositions de 1 sont de cette forme.

[MissJenny]

bon cela dit, toujours avec k =3, on a bien 1 = 1/7 + 2/7 +4/7 en fractions irréductibles, donc ça a l'air de fonctionner, il suffit de prendre un dénominateur premier plus grand que k.

[gg0]

Ton 1 = 1/4 + 1/4 + 1/2 relève bien de ce que je disais : réduction au même dénominateur. Comme pour 1=1/2+1/3+1/6 = 3/6+2/6+1/6. Et montre que la propriété dont parlait Ceddesm ne se conserve pas pour n=3. C'est une propriété spécifique aux sommes de deux fractions irréductibles qui valent 1.

[epiKx]

Bonjour,
Une petite précision: pour réduire au même dénominateur, on peut prendre le ppcm. Je suis d'accord avec gg0 sur le fond. Peut-on modifier l'énoncé pour le rendre vrai au rang n?
Cdlt

[gg0]

Ben ... celui du message #11 : "si 1 est la somme de k rationnels positifs q1,...,qk alors il existe un entier n et k entiers n1, nk tels que n1+...+nk = n et qi = ni/n ".

NB : Je n'avais pas parlé de ppcm pour rester au niveau collège (et parce que ça ne change rien sur le fait de savoir si les fractions sont irréductibles).

[epiKx]

Ce résultat est trivialement vrai: il suffit de mettre au même dénominateur (via le ppcm ou le produit des denominateurs)

[gg0]

C'est ce que j'avais dit.

Comme 1 peut se décomposer de plusieurs façons en 3 ou plus fractions irréductibles de même dénominateur ou pas, la propriété pour n=2 ne se généralise pas.

[MissJenny]

ce que j'avais en tête et qui me semble-t-il constituerait une généralisation à plus de 2 termes, c'est qu'il n'existe pas de décomposition 1 = p1 +...+ pk où les pi sont des fraction avec des dénominateurs premiers entre eux. Par exemple on ne peut pas obtenir 1 en sommant des tiers, des septièmes et des vingt-troisièmes. Ca reste à prouver bien sûr.

[epiKx]

@gg0 Oui. Si on ne demande plus ni/n irréductible le résultat devient vrai et c'est facile à obtenir... Ma question portait sur une condition suffisante pour que n fractions irréductibles de somme 1 aient même dénominateur.

[epiKx]

@MissJenny 1/2+1/3+1/6 =1 pourtant pgcd(2,3,6)=1 et les fractions sont irréductibles. Il faut donc imposer les dénominateurs 2 à 2 premiers entre eux...

[MissJenny]

1/2+1/3+1/6 =1

ah oui... mon intuition était fausse et je vois maintenant pourquoi.