Nombre complexe

[Jhonny2]

Bonsoir.
Pourquoi dit on que le nombre complexe Z=(z+1)/(z-1) € R si et seulement si z+1 et z-1 sont conjugués ??
Svp veuillez être le plus explicite possible car je suis très embrouillé avec cette notion .
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[Resartus]

Bonjour,
Euh, vous avez dû mal recopier la question, parce que c'est faux*.

Sinon, deux nombres conjugués sont de la forme a+bi et a-bi, c'est à dire qu'ils ont la même partie réelle et des parties imaginaires opposées
On peut aussi, en notation module/argument, écrire que les deux nombres ont le même module et des arguments opposés.

Donc un nombre est égal à son conjugué si sa partie imaginaire est nulle (c'est à dire son argument vaut soit 0 soit pi))

*(z+1)/(z-1) vaut 1-2/(z-1), qui n'est réel que si z est réel (mais différent de 1)

[ThM55]

Je ne comprends pas la réponse car .

Condition nécessaire et suffisante: (l'astérisque représentant la conjugaison complexe: un nombre complexe est réel ssi il est égal à son conjugué).

Donc la suite d'équivalents (pour z différent de 1):



produit des extrême égal produit des moyens:

[ThM55]

Par contre on peut écrire (avec signe + , donc probable erreur de frappe clavier dans la première réponse).

Et effectivement c'est réel ssi z est réel (différent de 1), mais c'est bien ce qu'on demande dans l'énoncé: z-1 et z+1 conjugués est équivalent à z réel puisque +1 et -1 sont réels.

Donc pas d'erreur de recopie, me semble-t-il.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

z-1 et z+1 ne sont jamais conjugués l'un de l'autre il me semble.

[ThM55]

Oui, j'ai dit une bêtise, on a bien z réel! Et pas l'énoncé proposé. Avec mes excuses.

[Jhonny2]

Vous dites quoi à la fin ??
Je comprends plus rien. L'affirmation est vrai ou fausse ? Si oui pourquoi (concrètement)??

[gg0]

Bonjour Johnny2.

D'abord, en référence à ce que disait MissJenny, examinons quand z+1 et z-1 sont conjugués (tu sais ce que ça veut dire - Sinon, inutile de poser cette question). Posons z=a+ib avec a et b réels
z-1 = a+ib-1= a-1 +i b : partie réelle a-1, partie imaginaire b
z+1 = a+ib+1= a+1 +i b : partie réelle a+1, partie imaginaire b
Ils sont conjugués lorsque
a-1=a+1 (impossible)
et b=-b (donc b=0)

Mais comme c'est impossible, z-1 et z+1 ne sont jamais conjugués. Ta question n'a de sens que si Z n'est jamais réel, mais par exemple pour z=0, on obtient Z=-1 qui est bien un réel.

Donc ta question n'est pas vraiment sérieuse, car personne de sérieux ne dit ça.
Maintenant pourrais-tu expliquer (toi qui est sérieux) qui est ce "on" dont tu parlais ?

Cordialement.

[ThM55]

C'est tellement évident, on a du mal à l'expliquer. On a vu ci-dessus que Z=Z* si et seulement si z est réel. Donc z-1 et z+1 sont aussi réels. S'ils étaient conjugués on aurait z-1=z+1, puisqu'un réel est son propre conjugué. Ce qui est équivalent à z-z=1+1, autrement dit 0 = 2. Donc c'est faux. OK?

[oualos]

Une autre façon de faire est de multiplier haut et bas par le conjugué de (z-1)
Le dénominateur étant obligatoirement réel on ne s'intéressera qu''à (z+1)* conjugué de (z-1)
Le produit d'un complexe par son conjugué est réel et la différence entre z et son conjugué donne deux fois la partie imaginaire.
Donc il faut que z soit réel

[gg0]

Heu ... la question était "... si et seulement si z+1 et z-1 sont conjugués " qui n'a rien à voir avec "que z soit réel".

Cordialement.

[ThM55]

Heu ... la question était "... si et seulement si z+1 et z-1 sont conjugués " qui n'a rien à voir avec "que z soit réel".

Cordialement.

Ben si, cela a quelque chose à voir: on montre que z est réel et il en résulte qu'il est impossible que z-1 et z+1 soient conjugués (sinon on arrive à 0=2), ce qui montre que l'énoncé proposé est faux.

[oualos]

Je suis bien d'accord!

[gg0]

Oui, TM55 mais ça a été dit depuis hier (message #5) et répété par toi, puis moi.
Autant je comprends ton message #9, autant je ne comprends pas celui-ci.

Cordialement.

NB : Beaucoup de bruit pour un message absurde !

[MissJenny]

on montre que z est réel et il en résulte qu'il est impossible que z-1 et z+1 soient conjugués.

pour moi z-1 et z+1 ne sont jamais conjugués, réels ou pas.

[oualos]

Autant je comprends ton message #9, autant je ne comprends pas celui-ci.

Cordialement.

NB : Beaucoup de bruit pour un message absurde !

Moi j'ai compris son dernier message et je trouve que la question de départ est absurde: missjenny a raison d'insister

Cordialement