Nombre complexe

[invite82dc8b02]

Bonjour,
J'ai un petit problème avec un exercice de complexe que voici :

1) On considère la transformation qui, à tout point M d'affixe z = x +iy différente de 1, associe le point M' d'affixe z' = (z-2) / (z-1).
Déterminer les point fixes de cette transformation.

Pour cette question, j'ai trouvé

2)Déterminer les parties réelle et imaginaire de z' en fonction de celles de z

Pour cette question je crois qu'il faut partir de
z' = (z-2) / (z-1)
z' = (x+iy-2) / (x+iy-1)
Mais là je n'arrive pas à mettre tous les i au numérateur

Si quelqu'un pouvait m'aider
Merci d'avance
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[Duke Alchemist]

Bonjour.

Dans ce genre de situation, on multiplie l'expression "en haut et en bas" par le conjugué du dénominateur à savoir (x-1 - iy).

Duke.

[invite82dc8b02]

Merci pour votre réponse,

J'ai tout développé et je trouve :
z' = (x - 2 +iy) / (x -1 +iy) * (x-1-iy)/(x-1-iy)
z'= (x-2+iy)*(x-1-iy) / (x-1)² - (iy)²
z'= (x² -x -ixy -2x +2 +2iy +ixy -iy +y²) / (x² +1 -2x +y²)
z' = (x² -3x +2 +iy +y²) / (x² -2x +1 +y²)

Maintenant pour isoler la partie imaginaire et la partie réelle,
Est-ce que je dois isoler tout ce qu'il y avec le x d'un coté et tout ce qu'il y a avec le y et le i de l'autre, ou
tout ce qu'il y a avec le x et le y d'un coté et tout ce qu'il y a avec le i de l'autre

Merci pour vos réponses

[Duke Alchemist]

Re-

Je n'ai pas revérifié les calculs mais à la fin, il te faut en effet isoler de manière à obtenir x' + iy' avec x' fonction de de x et y et y' fonction de x et y.

Une remarque cependant concernant les calculs, il vaut mieux laisser le dénominateur sous la forme (x-1)²+y².

Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite82dc8b02]

Je ne comprend pas de quel x' et quel y' il s'agit et comment faire pour isoler comme vous me l'avez indiquer

[Duke Alchemist]

Re-

Il faut poser z' = x' + iy' et tu identifies le x' et le y'.

Duke.

[invite82dc8b02]

z' = (x² -3x +2)/ (x-1)² + (iy-y²)/y²
z' = (x² -3x +2)/(x-1)² + y(i+y)/y²
z' = (x² -3x +2)/(x-1)² + (i+y)/y

Mais je n'arrive pas à plus simplifier

[Duke Alchemist]

z' = (x² -3x +2 +iy +y²) / (x² -2x +1 +y²)

z' = (x² -3x +2)/ (x-1)² + (iy-y²)/y²

Si la forme développée est correcte que je réécris ainsi :
z' = (x² +y² -3x +2 + iy ) / ((x-1)² +y²)
z' = (x² +y² -3x +2)/((x-1)² +y²) + i y/((x-1)² +y²)
j'ai isolé partie réelle et partie imaginaire. Le dénominateur ne peut pas être modifié comme tu l'as fait :grrr:

Et là, tu as ton x' et ton y'.

Duke.

[invite82dc8b02]

Est-ce que cela suffit à affirmer la partie réelle et imaginaire de z' en fonction de celles de z, en disant :

Re(z') = x' = (x² +y² -3x +2)/((x-1)² +y²)
Im(z') = y' = y/((x-1)² + y²)

merci d'avance

[Duke Alchemist]

C'est bien de cette façon qu'il faut s'y prendre

En espérant que tu sauras le refaire par la suite.

On voit tout de suite que si y est nul (ie z réel) alors ...
et que z' est un imaginaire pur si M appartient à un cercle de centre (...;...) et de rayon ...
Tu auras remarqué que je me suis autocensuré pour la bonne cause... parce que je pense que ce sont les questions qui suivent, non ?

Cordialement,
Duke.

[invite82dc8b02]

La prochaine question est la suivante (c'est la dernière) :
déterminer l'ensemble des point M tels que le point M' soit sur l'axe des abscisses :

Voici ce que j'ai commencé à faire
Si M' est sur l'axe des abscisse
Im(z') = 0
(iy)/ ((x-1)² + y²) = 0
est-ce bien cela qu'il faut résoudre pour trouver l'équation du cercle où doit se trouver M ?

[invite82dc8b02]

Bonsoir
Est-ce que quelqu'un pourrait m'indiquer comment procéder,

merci d'avance...

[Duke Alchemist]

Re-

Tu dois résoudre en effet Im(z') = 0 qui te mène inexorablement à y=0
Donc si M' appartient à l'axe des abscisses alors M appartient à ...

Attention cependant à x=1 qui doit être exclu mais bon c'est dit dans l'énoncé

J'avais anticipé un peu trop vite pour le cercle : c'est l'autre cas c'est-à-dire Re(z')=0


Duke.

[invite82dc8b02]

Bonjour,
Après avoir trouvé que y=0,
puis-je résoudre l'équation :
z' = (x² + 0² -3x + 2) / (x-1)² + 0²
z' = (x² - 3x + 2) / (x-1)²

Et là encore je suis bloquée...
Merci de bien vouloir m'aider

[invite82dc8b02]

Bonsoir,
est-ce que quelqu'un pourrait m'aider pour la suite...

Merci d'avance