Nombre complexe

[invite3603051b]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un DM de math

Le plan complexe P est rapporté à une repère orthonormal (0,u,v) on prendra pour unité graphique 4 cm
1) on considère dans C l'équation (E); (z²-2√3*z+4)(z²+2z+4)=0
a)Démontrer que les solutions de (E) sont:
a=-1+i√3, b=-1-i√3, c=√3 -i et d=√3+1
b)Écrire ces quatre nombres sous forme trigonométrique et exponentielle
c)placer dans P les points A,B,C et D d'affixes respectives a,b,c et d
d) prouver qu'ils se trouvent sur un même cercle que l'on représentera
2)On s'intéresse aux diagonales du quadrilatère ABCD
a)Démontrer qu'elles sont de même longueur et perpendiculaires
b)Donner l'affixe de leur point d'intersection
3)Donner une valeur approchée au degré près de l'angle ADC
4)Dans le plan P, a tout point M d'affixe z diffèrent √3+i ,on fait correspondre le point M' d'affixe z' définie par:
z'=[z+1-i√3]/[z-√3-i]
a) interpréter ,en termes de longueurs, module de z+1-i√3 et module de z-√3-i
b)Déterminer en construire l'ensemble E des points M de P tels que M' se trouve sur le cercle de centre O et de rayon 1



1)A) je remplace (E) par :a et je trouve au final je trouve : [-2i√3+2√3-6i+2]*0
Et comme un produit de facteur est nul si et seulement si un des facteurs est nul, a est solution.

Mais pour b,c et d je ne trouve pas de résultat semblable
B)Je trouve

pour a=-1+i√3
trigo: 2(-cos pi/3+isin pi/3)
expo:2E^i2pi/3

pour b=-1-i√3
trigo:2(-cos pi/3 - isinpi/3)
expo:2E^-2pi/3

pour c=√3-i
trigo:2(cos -pi/6+isin-pi/6)
expo:2E^-ipi/6

pour d=√3+i
trigo:2(cos pi/6+isin pi/6
expo:2E^ipi/6

C) j'ai placer le point ,le cercle est de centre O
D)Pour prouver qu'ils se trouvent sur un meme cercle, on sait que dans le plan complexe,si M a pour affixe z alors OM =module de z donc za=zb=zc=zd donc OA=OB=OC=OD

2A) j'ai démontrer qu'ils étaient de meme longueurs avec les coordonnées A(-1;√3) ,b(-1;-√3) ,c(√3;-1) et d(√3;+1)

BD= √8+4√3 et AC =√8+4√3 , mais comment prouver qu'ils sont perpendiculaire?

2)B Dois je chercher zAC=zBD

Je bloque a cette question pourriez vous m'aider s'il vous plait?Merci d'avance pour votre aide
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[Kley]

2A) j'ai démontrer qu'ils étaient de meme longueurs avec les coordonnées A(-1;√3) ,b(-1;-√3) ,c(√3;-1) et d(√3;+1)

BD= √8+4√3 et AC =√8+4√3 , mais comment prouver qu'ils sont perpendiculaire?

Comment as-tu calculé les longeurs?
Pour la perpendicularité,il suffit de prouver que les deux "vecteurs" AC et BD sont orthogonaux!

[invite3603051b]

aTheoreme: tout nombre complexe z=x+iy ,avec x et y reels , on associe le point M de coordonnées (x;y)

d'ou mes coordonnées de point ,après je fait AB=√(xb-xa)²+(yb-ya)²

D'ou mon resultat

[Kley]

aTheoreme: tout nombre complexe z=x+iy ,avec x et y reels , on associe le point M de coordonnées (x;y)

d'ou mes coordonnées de point ,après je fait AB=√(xb-xa)²+(yb-ya)²

Oui,alors vérifie tes calcules.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3603051b]

J'ai vérifier mes coordonnées ,elles sont justent,

En vérifiant, j'ai trouver BD=4 et AC =0 est ce normale?

[invite3603051b]

Oups je crois que je me suis emmêlé!

pour BD et Ac j'ai juste .Je ne me rappel plus très bien de comment on démontrer que deux vecteurs sont orthogonaux.

vous n'auriez pas un exemple pour ne pas me donner immédiatement la réponse (ou une formule)

[Kley]

En vérifiant, j'ai trouver BD=4 et AC =0 est ce normale?

Non il y a une erreur.


!!!

[invite3603051b]

Je vois ou est mon erreur, j'ai insérer le (-1)² avec le √3 !!!

[Kley]

Je ne me rappel plus très bien de comment on démontrer que deux vecteurs sont orthogonaux.

Produit scalaire nul.

[invite3603051b]

pour donner l'affixe de leur point d'intersection je fais zac=zbd.

[Kley]

Tu peux chercher l'intersection de tes deux droites (AC) (BD).

[invite3603051b]

oki, je fais tout sa pour demain, je vais vous laisser, dormir, merci beaucoup Kley pour votre aide.Bonne soirée

[invite3603051b]

Bonjour ,

J'ai réussi a démontrer que les droites était perpendiculaire en utilisant le produit scalaire et la formule:

(u.v)=1/2 ║u+v║²-║u║²-║v║²

en fi de calcul je trouve (u.v)=1/2 [8√3+16 -4√3-8-4√3-8]

Donc 0 , les vecteurs u et v sont orthogonaux ,donc les droites BD et AC sont perpendiculaires.

Maintenant je cherche un moyen de donner l'affixe du point d'intersection,

Je me démande s'il faut utiliser les coordonnées de vecteurs AC et Bd ou leurs affixes

[invite3603051b]

Je pense qu'il faut résoudre un systeme,

Les coordonnées des vecteurs AC et BD sont:

AC(√3+1;1+√3) => (x;y)
BD(√3+1;-1-√3) =>(x';y')

Je peux faire x=x' et y=y'

Mais j'obtiens x=0 et y=2(i(1+√3))

[Kley]

Pourquoi as tu caluclé la différence des vecteurs AC et BD!!

Le point d'intersection n'est pas le point d'intersection des droites (AC) et (BD)?

[invite3603051b]

Oui mais sa il faut que je le prouve ,je ne peux pas donner l'affixe en fonction de mon schema.Si?

[invite3603051b]

pourriez vous m'aider s'il vous plait, si je n'ai pas cette question ,je ne peux pas faire la 3 !

[invite92fdc094]

Moi je trouve, AC (√3+1;-1-√3) et BD (√3+1;1+√3). Et je ne pense pas qu'il faut faire une soustraction.

[Kley]

pourriez vous m'aider s'il vous plait, si je n'ai pas cette question ,je ne peux pas faire la 3 !

Tu peux considérer ton triangle ADC et appliquer le théorème de Pythagore généralisé.

[invite3603051b]

Eureka! Solution trouvé avec une équation de droite ( de Ac et BD) et une résolution de systeme

Pour trouver la valeur de ADC j'utilise les longueurs grace au vecteur avec le theoreme de pythagore !je cherche ADC et BDC.

[Kley]

Pour trouver la valeur de ADC j'utilise les longueurs grace au vecteur avec le theoreme de pythagore !je cherche ADC et BDC.

Pourquoi BDC?
Avec Pythagore tu accedes au cos(ADC) et de là tu tire l'angle ADC.

[invite3603051b]

Sur ma figure l'ange ADC ne fait pas un angle droit ,aurais je mal construit ma figure?

C est une corde ,ne passe pas par le milieu ,donc ADC n'est pas un angle droit.Je ne peux donc pas utiliser pythagore pour ce triange ADC.

Soit j'utilise ADI (I point d'intersection des deux droites) soit j'utilise DIC.

[Kley]

Sur ma figure l'ange ADC ne fait pas un angle droit ,aurais je mal construit ma figure?

Non.Ce n'est pas un angle droit c'est pour cela que j'ai dis pythagore genéralisé
Ici