Conditions pour que trois droites distinctes soient concourantes ou parallèles

[jall2]

Bonjour

Pourquoi dans un plan



source: https://fr.wikipedia.org/wiki/Propri...s_et_des_plans
-----

[Black Jack 2]

Bonjour,

Sous soucis de rigueur ...

|...| = 0
peut s'écrire :
h1.(u2.v3-u3.v2) - h2.(u1v3-u3.v1) + h3.(u1.v2-u2.v3) = 0 (1)

a)

D1 : y = - u1/v1.x - h1/v1
D2 : y = - u2/v2.x - h2/v2
D3 : y = - u3/v3.x - h3/v3

Avec v1, v2 et v3 différents de 0 :

Si les droites sont parallèles, on a u1/v1 = u2/v2 = u3/v3 (mêmes coefficients directeurs)
on a donc : u2.v3 = u3.v2 --> u2.v3 - u3.v2 = 0
pareillement on a : u1v3-u3.v1 = 0 et u1.v2-u2.v3 = 0

Donc si les droites sont parallèles, (1) est respectée.
*****
b) Si les droites sont concourantes :
Abscisse de rencontre de D1 et D2 :
- u1/v1.x - h1/v1 = - u2/v2.x - h2/v2
x = (h1.v2-h2.v1)/(u1.v2-u2.v1)

Abscisse de rencontre de D1 et D3:
Pareillement, on trouve :
x = (h1.v3-h3.v1)/(u1.v3-u3.v1)

Si les 3 droites sont concourantes, on a donc : (h1.v2-h2.v1)/(u1.v2-u2.v1) = (h1.v3-h3.v1)/(u1.v3-u3.v1)
On fait le produit en croix, on simplifie et on groupe certains termes et on arrive à :
h1.(u2.v3-u3.v2) - h2.(u1v3-u3.v1)+h3(u1.v2-u2.v3) = 0 … donc (1) est respectée.
*****
Donc, que les 3 droites soient parallèles ou concourantes, (1) est respecté.

Je te laisse les cas avec des v_i nuls (droite parallèle à l'axe des abscisses) ou autres cas particuliers ...

[gg0]

Bonjour Jall2.

Tu peux regarder aussi ce document.
Il manque le cas des trois parallèles, je pense qu'on l'obtient en développant le déterminant par rapport à la troisième colonne.

Cordialement.

[jall2]

-------------

[A voir en vidéo sur Futura]