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Factorisation de a^n - b^n




  1. #1
    kNz

    Factorisation de a^n - b^n

    Bonjour,

    Suite à un exo de shokin sur un autre post, j'essaie de démontrer une formule..

    (a - b)(a + b) = a² - b²
    (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a3 - b3
    (a - b)(a^3 + a^2 * b + a * b^2 + b^3) = a4 - b4
    (a - b)(a^4 * b^0 + a^3 * b^1 + a^2 * b^2 + a^1 * b^3 + a^0 * b^4) = a5 - b5

    On peut conjecturer que an - bn =

    On le démontre par récurrence sur n.

    Fondation

    Pour n=1, (a-b)(a1-0b0 + a1-1b1) = (a-b)(a+b) = a²-b²

    La formule est donc vraie pour n=1.

    Hérédité

    On suppose que la formule est vraie pour un certain entier de rang n, on veut le démontrer pour n+1 :




    Petite parenthèse j'ai quelques questions sur les sommes, j'suis pas trop accoutumé avec :

    Pour n+1 on doit avoir ??

    Si je pose k' = k+1, ça me donne bien

    Si je me plante complètement dans la voie pour la démo, j'veux bien que vous me le disiez aussi j'essaie juste de m'entraîner ..

    Merci,

    A+

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    invité576543
    Invité

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Il y a plein de petites fautes. Relis en essayant un peu de rigueur!

  4. #3
    invité576543
    Invité

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    On peut conjecturer que an+1 - bn+1 =

    On le démontre par récurrence sur n.

    Fondation

    Pour n=1, (a-b)(a1-0b0 + a1-1b1) = (a-b)(a+b) = a²-b²

    La formule est donc vraie pour n=1.

    (Mais on aurait pu partir de n=0, c'est plus simple)

    Hérédité

    On suppose que la formule est vraie pour un certain entier de rang n, on veut le démontrer pour n+1 :

    Petite parenthèse j'ai quelques questions sur les sommes, j'suis pas trop accoutumé avec :

    Pour n+1 on doit avoir ??

    oui

    Si je pose k' = k+1, ça me donne bien

    Non n-k' = n-k-1, et ce n'est pas ce que l'on veut, et pour l'exposant de b on ne peut pas remplacer k par k'


  5. #4
    kNz

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Ah oui en effet y avait pas mal de petites fautes

    Dans un exo de ce genre, comment doit-on procéder méthodiquement ?

    Se dire qu'on part de :



    Et qu'on doit arriver à :



    ?

    Merci de ton inépuisable patience mmy

  6. #5
    Gwyddon

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Salut kNz,

    Je ne sais pas si ma méthode est la meilleure, mais bon...

    Quand tu vois la tête de l'égalité, et sachant que tu dois la démontrer au rang n+1, tu choisis de partir du côté le plus simple (ie celui que te permet de te ramener le plus simplement au rang n).

    Ici manifestement si tu pars de l'expression factorisée, ce sera plus simple
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    invité576543
    Invité

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Citation Envoyé par kNz Voir le message
    Pour n+1 on doit avoir ??

    Si je pose k' = k+1, ça me donne bien
    Bonjour,

    Le principe de ton approche ici est correct, partir de l'expression en n+1 et isoler dans cette expression celle de n. Tu ne l'appliques pas assez rigoureusement.

    Le point clé est de réaliser que les monômes ont tous le même degré total, n+1. Pour passer au cran inférieur, il faut descendre d'un degré. il n'y a guère qu'une méthode, diviser par a ou par b... Divisier par a, par exemple, est possible pour tous les monômes sauf un. Regardes la réécriture suivante...



    Cordialement,

  9. #7
    kNz

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Salut Gwyddon et mmy,

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Salut kNz,

    Je ne sais pas si ma méthode est la meilleure, mais bon...

    Quand tu vois la tête de l'égalité, et sachant que tu dois la démontrer au rang n+1, tu choisis de partir du côté le plus simple (ie celui que te permet de te ramener le plus simplement au rang n).

    Ici manifestement si tu pars de l'expression factorisée, ce sera plus simple
    Pour toi, l'expression factorisée c'est
    ?

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Bonjour,

    Le principe de ton approche ici est correct, partir de l'expression en n+1 et isoler dans cette expression celle de n. Tu ne l'appliques pas assez rigoureusement.

    Le point clé est de réaliser que les monômes ont tous le même degré total, n+1. Pour passer au cran inférieur, il faut descendre d'un degré. il n'y a guère qu'une méthode, diviser par a ou par b... Divisier par a, par exemple, est possible pour tous les monômes sauf un. Regardes la réécriture suivante...



    Cordialement,
    A lil' question :

    Je pensais que :

    =

    = (a-b) (an+1b0 + anb1 + ... + a1bn + a0bn+1)

    = (a-b) (anb0 + an-1b1 + ... + a1bn-1 + a0bn + a0bn+1)

    Enfin, y a un truc que j'arrive pas à comprendre, je vais essayer d'être clair :

    Soit la somme allant de k=0 à n+1, si j'écris cette expression d'une autre manière, ie somme allant de k=0 à n additioné au cas n+1, est que dans l'expression qui est sommée (ici an+1-kbk) j'ai le droit de remplacer le n+1 par n ?

    OK c'est complètement flou ce que j'écris ..

    Exemple concret :



    Ici ça marche, est-ce que j'ai le droit, quand je dissocie le cas n+1 de la somme, de remplacer n+1, qu'il soit à l'exposant, sous une racine, etcaetera, par n ?

    Merci beaucoup.

  10. Publicité
  11. #8
    invité576543
    Invité

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Bonsoir,

    Soit la somme allant de k=0 à n+1, si j'écris cette expression d'une autre manière, ie somme allant de k=0 à n additioné au cas n+1, est que dans l'expression qui est sommée (ici an+1-kbk) j'ai le droit de remplacer le n+1 par n ?
    Oui et non. Passer l'exposant de a de n+1 à n, ça veut dire diviser par a, non? Mais ce a ne doit pas disparaître! Comment faire?

    Le a passe en facteur, ça donne:



    La suite au prochain numéro, si tu ne finis pas tout seul!

    Cordialement,

  12. #9
    Gwyddon

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Citation Envoyé par kNz Voir le message
    Salut Gwyddon et mmy,



    Pour toi, l'expression factorisée c'est
    ?
    .
    Oui c'est cela

    Je laisse la main à mmy de toute façon, j'ai cours demain donc je ne pourrai sûrement pas t'aider.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  13. #10
    kNz

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Bonsoir,

    Je suis prêt pour le prochain épisode

    J'ai essayé de factoriser par (a-b) la dernière expression et de me ramener au truc cherché, mais j'avoue ne pas y arriver, j'ai essayé la méthode bourrine en remplaçant la somme des an-kbk par an+1-bn+1 mais je n'y arrive pas non plus, bref ...

    Il est tard et j'ai cours demain aussi, je rechercherais ce week end,

    A+

  14. #11
    Jean-Luc97233

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Bonjour,

    Je reviens sur ce post ( ouvert il y a quelques années ! ). Je vais tenir compte des remarques faites par le médiateur hier, afin d'être plus clair dès le départ et de gg0, pour me baser sur le cours et moins sur les corrections d'exercices.

    Je souhaite démontrer ce théorème de cours, non plus en utilisant la récurrence, mais les sommes télescopiques.

    Somme télescopique :

    J'ai
    Pourquoi faut-il "inverser'' la somme télescopique pour avoir ?

  15. #12
    gg0

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    La somme télescopique n'est pas à "inverser". Quand on la développe, on obtient :


    Cordialement.

  16. #13
    Jean-Luc97233

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Alors là je ne comprends vraiment plus. Ta démonstration est tout à fait claire et cohérente. Mais si on l'applique au Théorème du cours du Bréal ( non démontré ), j'obtiens a(p+1)-a(q). Donc au final le théorème qu'ils énoncent parait absurde ( sauf erreur de ma part ).

    Voici la photo :

    Photo du 28-05-2015 à 09.15.jpg

    Petite question au passage : tu utilises un éditeur ou tapes tu directement du code LaTex sur le forum? J'ai commencé par utiliser Texmaker, mais je le trouvais assez peu intuitif. Je découvre LyX. Y a t-il d'autres alternatives ?

    Cordialement

  17. #14
    PlaneteF

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Bonjour,

    Une autre façon, très simple, de démontrer cette formule est la suivante :

    Soient et

    Maintenant considérons la suite géométrique de raison et de premier terme .

    Appliquons alors à cette suite la formule classique de la somme des premiers termes. Il vient :




    Maintenant il suffit de multiplier les 2 membres de cette égalité par et on tombe pil poil sur la formule voulue


    A noter que pour ou la formule à démontrer est trivialement vérifiée.


    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 28/05/2015 à 14h46.

  18. #15
    Médiat

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Bonjour,

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    La meilleure démonstration que je connaisse de cette relation c'est justement la formule à démontrer .
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  19. #16
    Médiat

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Citation Envoyé par Jean-Luc97233 Voir le message
    Petite question au passage : tu utilises un éditeur ou tapes tu directement du code LaTex sur le forum?
    Bonjour,

    On peut taper du Latex directement dans l'éditeur (Mode avancé, bouton [TEX]).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  20. #17
    PlaneteF

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    Appliquons alors à cette suite la formule classique de la somme des premiers termes. Il vient :
    Je précise ici, il s'agit de la somme des premiers termes.

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 28/05/2015 à 14h56.

  21. #18
    PlaneteF

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour,



    La meilleure démonstration que je connaisse de cette relation c'est justement la formule à démontrer .
    Bonjour Médiat,

    Ich nicht, perso je le démontre par une récurrence triviale (d'ailleurs pour en revenir au premier degré je suppose que c'est même comme cela que c'est fait dans le programme de terminal !)

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 28/05/2015 à 15h07.

  22. #19
    Jean-Luc97233

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Citation Envoyé par Médiat
    Bonjour,

    On peut taper du Latex directement dans l'éditeur (Mode avancé, bouton [TEX]).
    Oui, je comprends bien, mais il faut connaitre toutes les formules TEX. Ne faites vous pas appel à un éditeur avec de jolis boutons associées aux formules pour plus de convivialité et de rapidité. Là j'ai utilisé Lyx qui génère du code LaTex avec des balises $$ que je dois convertir ensuite en [TEX][\TEX].

    Y a t-il une autre possibilité ?

  23. #20
    Médiat

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Il y a longtemps que j'ai abandonné les éditeurs Latex (y compris pour un bouquin de plus de 300 pages)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  24. #21
    Jean-Luc97233

    Re : Factorisation de a^n - b^n


  25. #22
    PlaneteF

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Citation Envoyé par Jean-Luc97233 Voir le message
    (...) mais il faut connaitre toutes les formules TEX. Ne faites vous pas appel à un éditeur avec de jolis boutons associées aux formules pour plus de convivialité et de rapidité.
    Bonjour,

    Personnellement non, ... quand j'ai un doute ou que je ne connais pas le code je vais directos ici où en une page condensée il y a presque tout :

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 28/05/2015 à 15h23.

  26. #23
    gg0

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Mais si tu veux un éditeur de formules tu as celui-ci.

    Pour ma part, je tape en direct.

  27. #24
    gg0

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Pour en revenir à ton calcul initial, la formule du Bréal fonctionne bien à condition d'indicer les termes. Mais ce n'est pas utile : Quand on repère un télescopage, on n'a pas besoin de formule, on sait que ça fait le premier terme de la première différence moins le dernier de la dernière différence. Les autres se simplifiant (c'est ça qui est à bien vérifier). Dans ce cas, les formules du genre de celle que tu veux utiliser sont nuisibles. Encore plus ici où l'indice croissant est sur b qu'on écrit en dernier. Mais on ne peut reprocher au bréal d'écrire en une formule ce qui se conçoit directement mais s'explique en plusieurs lignes.

    Cordialement.

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