Factorisation de a^n - b^n

invitea7fcfc37 · 13/09/2006, 18h02

Bonjour,

Suite à un exo de shokin sur un autre post, j'essaie de démontrer une formule..

(a - b)(a + b) = a² - b²
(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a³ - b³
(a - b)(a^3 + a^2 * b + a * b^2 + b^3) = a⁴ - b⁴
(a - b)(a^4 * b^0 + a^3 * b^1 + a^2 * b^2 + a^1 * b^3 + a^0 * b^4) = a⁵ - b⁵

On peut conjecturer que aⁿ - bⁿ = $\text{[math]}$

On le démontre par récurrence sur n.

Fondation

Pour n=1, (a-b)(a^1-0b⁰ + a^1-1b¹) = (a-b)(a+b) = a²-b²

La formule est donc vraie pour n=1.

Hérédité

On suppose que la formule est vraie pour un certain entier de rang n, on veut le démontrer pour n+1 :

Petite parenthèse j'ai quelques questions sur les sommes, j'suis pas trop accoutumé avec :

Pour n+1 on doit avoir $\text{[math]}$ ??

Si je pose k' = k+1, ça me donne bien $\text{[math]}$

Si je me plante complètement dans la voie pour la démo, j'veux bien que vous me le disiez aussi

j'essaie juste de m'entraîner ..

Merci,

A+

invité576543 · 13/09/2006, 18h14

Il y a plein de petites fautes. Relis en essayant un peu de rigueur!

invité576543 · 13/09/2006, 18h20

On peut conjecturer que aⁿ⁺¹ - bⁿ⁺¹ = $\text{[math]}$

On le démontre par récurrence sur n.

Fondation

Pour n=1, (a-b)(a^1-0b⁰ + a^1-1b¹) = (a-b)(a+b) = a²-b²

La formule est donc vraie pour n=1.

(Mais on aurait pu partir de n=0, c'est plus simple)

Hérédité

On suppose que la formule est vraie pour un certain entier de rang n, on veut le démontrer pour n+1 :

Petite parenthèse j'ai quelques questions sur les sommes, j'suis pas trop accoutumé avec :

Pour n+1 on doit avoir $\text{[math]}$ ??

oui

Si je pose k' = k+1, ça me donne bien $\text{[math]}$

Non n-k' = n-k-1, et ce n'est pas ce que l'on veut, et pour l'exposant de b on ne peut pas remplacer k par k'

invitea7fcfc37 · 13/09/2006, 21h52

Ah oui en effet y avait pas mal de petites fautes

Dans un exo de ce genre, comment doit-on procéder méthodiquement ?

Se dire qu'on part de :

$\text{[math]}$

Et qu'on doit arriver à :

$\text{[math]}$

?

Merci de ton inépuisable patience mmy

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**invite9c9b9968** · 13/09/2006, 22h43

Salut kNz,

Je ne sais pas si ma méthode est la meilleure, mais bon...

Quand tu vois la tête de l'égalité, et sachant que tu dois la démontrer au rang n+1, tu choisis de partir du côté le plus simple (ie celui que te permet de te ramener le plus simplement au rang n).

Ici manifestement si tu pars de l'expression factorisée, ce sera plus simple

invité576543 · 14/09/2006, 06h24

Envoyé par kNz

Pour n+1 on doit avoir $\text{[math]}$ ??

Si je pose k' = k+1, ça me donne bien $\text{[math]}$

Bonjour,

Le principe de ton approche ici est correct, partir de l'expression en n+1 et isoler dans cette expression celle de n. Tu ne l'appliques pas assez rigoureusement.

Le point clé est de réaliser que les monômes $\text{[math]}$ ont tous le même degré total, n+1. Pour passer au cran inférieur, il faut descendre d'un degré. il n'y a guère qu'une méthode, diviser par a ou par b... Divisier par a, par exemple, est possible pour tous les monômes sauf un. Regardes la réécriture suivante...

$\text{[math]}$

Cordialement,

invitea7fcfc37 · 14/09/2006, 19h32

Salut Gwyddon et mmy,

Envoyé par Gwyddon

Salut kNz,

Je ne sais pas si ma méthode est la meilleure, mais bon...

Quand tu vois la tête de l'égalité, et sachant que tu dois la démontrer au rang n+1, tu choisis de partir du côté le plus simple (ie celui que te permet de te ramener le plus simplement au rang n).

Ici manifestement si tu pars de l'expression factorisée, ce sera plus simple

Pour toi, l'expression factorisée c'est
$\text{[math]}$ ?

Envoyé par mmy

Bonjour,

Le principe de ton approche ici est correct, partir de l'expression en n+1 et isoler dans cette expression celle de n. Tu ne l'appliques pas assez rigoureusement.

Le point clé est de réaliser que les monômes $\text{[math]}$ ont tous le même degré total, n+1. Pour passer au cran inférieur, il faut descendre d'un degré. il n'y a guère qu'une méthode, diviser par a ou par b... Divisier par a, par exemple, est possible pour tous les monômes sauf un. Regardes la réécriture suivante...

$\text{[math]}$

Cordialement,

A lil' question :

Je pensais que :

$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ = (a-b) (aⁿ⁺¹b⁰ + aⁿb¹ + ... + a¹bⁿ + a⁰bⁿ⁺¹)

$\text{[math]}$ = (a-b) (aⁿb⁰ + a^n-1b¹ + ... + a¹b^n-1 + a⁰bⁿ + a⁰bⁿ⁺¹)

Enfin, y a un truc que j'arrive pas à comprendre, je vais essayer d'être clair :

Soit la somme allant de k=0 à n+1, si j'écris cette expression d'une autre manière, ie somme allant de k=0 à n additioné au cas n+1, est que dans l'expression qui est sommée (ici a^n+1-kb^k) j'ai le droit de remplacer le n+1 par n ?

OK c'est complètement flou ce que j'écris ..

Exemple concret :

$\text{[math]}$

Ici ça marche, est-ce que j'ai le droit, quand je dissocie le cas n+1 de la somme, de remplacer n+1, qu'il soit à l'exposant, sous une racine, etcaetera, par n ?

Merci beaucoup.

invité576543 · 14/09/2006, 20h30

Bonsoir,

Soit la somme allant de k=0 à n+1, si j'écris cette expression d'une autre manière, ie somme allant de k=0 à n additioné au cas n+1, est que dans l'expression qui est sommée (ici a^n+1-kb^k) j'ai le droit de remplacer le n+1 par n ?

Oui et non. Passer l'exposant de a de n+1 à n, ça veut dire diviser par a, non? Mais ce a ne doit pas disparaître! Comment faire?

Le a passe en facteur, ça donne:

$\text{[math]}$

La suite au prochain numéro, si tu ne finis pas tout seul!

Cordialement,

**invite9c9b9968** · 15/09/2006, 00h06

Envoyé par kNz

Salut Gwyddon et mmy,

Pour toi, l'expression factorisée c'est
$\text{[math]}$ ?

.

Oui c'est cela

Je laisse la main à mmy de toute façon, j'ai cours demain donc je ne pourrai sûrement pas t'aider.

invitea7fcfc37 · 15/09/2006, 22h55

Bonsoir,

Je suis prêt pour le prochain épisode

J'ai essayé de factoriser par (a-b) la dernière expression et de me ramener au truc cherché, mais j'avoue ne pas y arriver, j'ai essayé la méthode bourrine en remplaçant la somme des a^n-kb^k par aⁿ⁺¹-bⁿ⁺¹ mais je n'y arrive pas non plus, bref ...

Il est tard et j'ai cours demain aussi, je rechercherais ce week end,

A+

inviteba4146d1 · 28/05/2015, 06h02

Bonjour,

Je reviens sur ce post ( ouvert il y a quelques années !

). Je vais tenir compte des remarques faites par le médiateur hier, afin d'être plus clair dès le départ et de gg0, pour me baser sur le cours et moins sur les corrections d'exercices.

Je souhaite démontrer ce théorème de cours, non plus en utilisant la récurrence, mais les sommes télescopiques.

Somme télescopique : $\text{[math]}$

J'ai $\text{[math]}$
Pourquoi faut-il "inverser'' la somme télescopique pour avoir $\text{[math]}$ ?

**gg0** · 28/05/2015, 09h01

La somme télescopique n'est pas à "inverser". Quand on la développe, on obtient :
$\text{[math]}$

Cordialement.

inviteba4146d1 · 28/05/2015, 15h42

Alors là je ne comprends vraiment plus. Ta démonstration est tout à fait claire et cohérente. Mais si on l'applique au Théorème du cours du Bréal ( non démontré ), j'obtiens a(p+1)-a(q). Donc au final le théorème qu'ils énoncent parait absurde ( sauf erreur de ma part ).

Voici la photo :

Nom : Photo du 28-05-2015 à 09.15.jpg
Affichages : 66140
Taille : 20,3 Ko

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Petite question au passage : tu utilises un éditeur ou tapes tu directement du code LaTex sur le forum? J'ai commencé par utiliser Texmaker, mais je le trouvais assez peu intuitif. Je découvre LyX. Y a t-il d'autres alternatives ?

Cordialement

**PlaneteF** · 28/05/2015, 15h43

Bonjour,

Une autre façon, très simple, de démontrer cette formule est la suivante :

Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Maintenant considérons la suite géométrique de raison $\text{[math]}$ et de premier terme $\text{[math]}$ .

Appliquons alors à cette suite la formule classique de la somme des $\text{[math]}$ premiers termes. Il vient :

$\text{[math]}$

Maintenant il suffit de multiplier les 2 membres de cette égalité par $\text{[math]}$ et on tombe pil poil sur la formule voulue

A noter que pour $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ la formule à démontrer est trivialement vérifiée.

Cordialement

**Médiat** · 28/05/2015, 15h49

Bonjour,

Envoyé par PlaneteF

$\text{[math]}$

La meilleure démonstration que je connaisse de cette relation c'est justement la formule à démontrer

.

**Médiat** · 28/05/2015, 15h51

Envoyé par Jean-Luc97233

Petite question au passage : tu utilises un éditeur ou tapes tu directement du code LaTex sur le forum?

Bonjour,

On peut taper du Latex directement dans l'éditeur (Mode avancé, bouton [TEX]).

**PlaneteF** · 28/05/2015, 15h51

Envoyé par PlaneteF

Appliquons alors à cette suite la formule classique de la somme des $\text{[math]}$ premiers termes. Il vient :

Je précise ici, il s'agit de la somme des $\text{[math]}$ premiers termes.

Cdt

**PlaneteF** · 28/05/2015, 16h05

Envoyé par Médiat

Bonjour,

La meilleure démonstration que je connaisse de cette relation c'est justement la formule à démontrer

.

Bonjour Médiat,

Ich nicht, perso je le démontre par une récurrence triviale

(d'ailleurs pour en revenir au premier degré je suppose que c'est même comme cela que c'est fait dans le programme de terminal !)

Cdt

inviteba4146d1 · 28/05/2015, 16h15

Envoyé par Médiat

Bonjour,

On peut taper du Latex directement dans l'éditeur (Mode avancé, bouton [TEX]).

Oui, je comprends bien, mais il faut connaitre toutes les formules TEX. Ne faites vous pas appel à un éditeur avec de jolis boutons associées aux formules pour plus de convivialité et de rapidité. Là j'ai utilisé Lyx qui génère du code LaTex avec des balises $$ que je dois convertir ensuite en [TEX][\TEX].

Y a t-il une autre possibilité ?

**Médiat** · 28/05/2015, 16h18

Il y a longtemps que j'ai abandonné les éditeurs Latex (y compris pour un bouquin de plus de 300 pages)

inviteba4146d1 · 28/05/2015, 16h19

**PlaneteF** · 28/05/2015, 16h20

Envoyé par Jean-Luc97233

(...) mais il faut connaitre toutes les formules TEX. Ne faites vous pas appel à un éditeur avec de jolis boutons associées aux formules pour plus de convivialité et de rapidité.

Bonjour,

Personnellement non, ... quand j'ai un doute ou que je ne connais pas le code je vais directos ici où en une page condensée il y a presque tout :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX

Cdt

**gg0** · 28/05/2015, 16h27

Mais si tu veux un éditeur de formules tu as celui-ci.

Pour ma part, je tape en direct.

**gg0** · 28/05/2015, 16h35

Pour en revenir à ton calcul initial, la formule du Bréal fonctionne bien à condition d'indicer les termes. Mais ce n'est pas utile : Quand on repère un télescopage, on n'a pas besoin de formule, on sait que ça fait le premier terme de la première différence moins le dernier de la dernière différence. Les autres se simplifiant (c'est ça qui est à bien vérifier). Dans ce cas, les formules du genre de celle que tu veux utiliser sont nuisibles. Encore plus ici où l'indice croissant est sur b qu'on écrit en dernier. Mais on ne peut reprocher au bréal d'écrire en une formule ce qui se conçoit directement mais s'explique en plusieurs lignes.

Cordialement.

Factorisation de a^n - b^n

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