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Recurrences...



  1. #1
    fany93

    Unhappy Recurrences...

    Bonjour,
    j'ai un exo sur les recurrences et j'ai toujours le meme probleme si quelqu'un pourrait m'aider...

    Soit la suite (Un) definie pour tout entier n>=1 par :

    Un=1+1/1!+1/2!+...+1/n!

    (note: n!= n*(n-1)*...*2*1)

    1) demontrer par recurrrence que pour tou n>=1
    1/n!<= 1/2^(n-1)

    2) deduisez en que la suite est majorée par 3
    3) demontrer qu'elle est convergente

    Moi je bug des le depart
    1) demontrer par recurrrence que pour tout n>=1
    1/n!<= 1/2^(n-1)

    on fait l'initialisation soit
    pour n=1 on a

    d'une part:1/1!=1
    d'autre part: 1/2^(1-1)=1
    Donc P1 est vraie

    Ensuite pour l'héréditarité...
    Montrons que pour tout n>=1 on a Pn=>Pn+1
    On suppose que Pn est vrai c'est-à-dire
    1/n!<=1/2^(n-1)

    demontrons que 1/(n+1)!<=1/2^(n-1+1)
    soit 1/(n+1)!<=1/2^n

    alors si j'ai bien compris on doit partir de Pn est essayer de trouver
    1/(n+1)!<=1/2^n

    enfin moi j'ai essayer de faire sa mais j'y arrive pas ...???

    -----


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  3. #2
    fany93

    Re : Recurrences...

    personne pour m'eclairer???

  4. #3
    lolouki

    Re : Recurrences...

    bon tu es tres bien parti ( superbe redaction en tout cas ^^)

    on sait que : 1/n!<=1/2^(n-1)

    Or 1/(n+1)! =1/(n*n!)

    donc d'apres p(n) on a : 1/(n+1)! <= 1/(n*2^(n-1))

    or supposons n>=2 alors n*2^(n-1) >= 2^n

    En passant a l'inverse de cette expression tu devrais trouver ton bonheur je pense

  5. #4
    fany93

    Re : Recurrences...

    j'ai pas trop compris...

    on part de 1/n!<=1/2^(n-1)
    on multiplie le denominateur par n c'est sa ?
    1/(n*n!)<=1/(n*2^(n-1)) ...?

    mais l'histoire du on suppose n>=2
    alors n*2^(n-1) >= 2^n
    pourquoi on laise pas n>=1

    et si apres je passe a l'inverse j'ai
    1/(n*n!)<=1/2n c'es pas egale a 1/(n+1)!<=1/2^n

    aidez moi pleaz lol

  6. #5
    lolouki

    Re : Recurrences...

    Alors jutilsie n>=2 comme ca quand je multiplie j'obtient mon 2^n.

    quand on passe a l'inverse j'obtient bien au finale 1/(n+1)!<=1/2^n .

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Gwyddon

    Re : Recurrences...

    Tu as bien compris l'idée du raisonnement

    Maintenant passons à la pratique.

    Tu travailles sur 1/(n+1)! :



    Vois-tu maintenant comment utiliser ton hypothèse de récurrence, à savoir

    ?


    EDIT : bon le temps d'écrire tout ça et déjà plein de réponses

    EDIT2 : lolouki tu pars sur une faute, on a plutôt (n+1)! = (n+1)*n!
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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  10. #7
    fany93

    Re : Recurrences...

    oki pr le n>=2 mais pourquoi sa
    1/(n*n!) sa devient 1/(n+1) lorsque qu'on multiplie pas 2 ?? je sais pas si vous allez me comprendre...

  11. #8
    fany93

    Re : Recurrences...

    et pour gwyddon non je vois pas comment utiliser mon hypothese de recurrence c'est ce qui me fait toujours defaut je vois pas comment aboutir a mon resultat de depart... le fait qui est ce ! sa me trouble

  12. #9
    fany93

    Re : Recurrences...

    et meme comment vous faite pour dire que
    1/(n+1)! = 1/(n+1)*n!

  13. #10
    kNz

    Re : Recurrences...

    Citation Envoyé par fany93 Voir le message
    et meme comment vous faite pour dire que
    1/(n+1)! = 1/(n+1)*n!
    C'est la définition de factoriel n :

    n! = n(n-1)(n-2)...1
    (n+1)! = (n+1)n(n-1)...1 = (n+1)n!

  14. #11
    fany93

    Re : Recurrences...

    je ne comprends rien... je ne fais pas expret en plus peut etre que la reponse est sous mes yeux mais j'y arrive vraiment pas

  15. #12
    kNz

    Re : Recurrences...

    Citation Envoyé par fany93 Voir le message
    je ne comprends rien... je ne fais pas expret en plus peut etre que la reponse est sous mes yeux mais j'y arrive vraiment pas
    On t'en veut pas rassure toi

    Qu'est-ce que tu ne comprends pas ? C'est à cause de n! ?

    n! est le produit de tous les entiers naturels inférieurs à n jusqu'à 1 :

    n! = n(n-1)(n-2)(n-3) ... 3*2*1

    Par exemple, pour n=4, tu as :

    4! = 4*3*2*1 = 24

    Maintenant, à quoi est égal (n+1)! ?

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  17. #13
    fany93

    Re : Recurrences...

    (n+1) sera egale a
    (n+1)x(n)x(n-1)....x3x2x1

  18. #14
    kNz

    Re : Recurrences...

    Oui voilà, toi ce que tu veux, c'est pouvoir utiliser l'hypothèse de récurrence, donc il faut te ramener à n!

    Est-ce que tu vois comment t'y ramener à partir de l'expression que tu viens de m'écrire ?

  19. #15
    fany93

    Re : Recurrences...

    ahhhhh d'accord donc sa sera egale a (n+1) n! c'est pour sa qu'il apparaissait
    donc on part du 1/(n-1)!<=1/2n et on remonte pour retrouver le pn de depart 1/n!<=1/2n-1

    1/(n+1)n!<= 1/2n
    et la...

  20. #16
    fany93

    Re : Recurrences...

    si je fait
    1/(n+1)n!<=1/2^n

    je soustrait des deux cotés par 1/(n-1)

    j'aurai 1/n!<=1/2^n - 1/(n-1)

    desolé j'avais oublier les puissance de n...

  21. #17
    fany93

    Re : Recurrences...

    j'ai rien dis!! c'est pas au meme denominateur

  22. #18
    NewBornCreation

    Re : Recurrences...

    Il sort d'où le 1/2^n ? moi j'ai pris l'inéquation de départ, et en passant à n+1 j'obtiens cette inégalité:

    1/(n+1)! <= 1/((2^n-1)(n+1))

    J'ai multiplié des deux côtés par 1/n+1
    mais la jsuis bloqué

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  24. #19
    fany93

    Re : Recurrences...

    ben je dois prouver que c'est de inegalité sont egale je pars d'une pour tomber sur la 2eme

    1/n!<=1/2^(n-1)

    1/(n+1)!<=1/2^n

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