Recurrences...

[invite3ac51b88]

Bonjour,
j'ai un exo sur les recurrences et j'ai toujours le meme probleme si quelqu'un pourrait m'aider...

Soit la suite (Un) definie pour tout entier n>=1 par :

Un=1+1/1!+1/2!+...+1/n!

(note: n!= n*(n-1)*...*2*1)

1) demontrer par recurrrence que pour tou n>=1
1/n!<= 1/2^(n-1)

2) deduisez en que la suite est majorée par 3
3) demontrer qu'elle est convergente

Moi je bug des le depart
1) demontrer par recurrrence que pour tout n>=1
1/n!<= 1/2^(n-1)

on fait l'initialisation soit
pour n=1 on a

d'une part:1/1!=1
d'autre part: 1/2^(1-1)=1
Donc P1 est vraie

Ensuite pour l'héréditarité...
Montrons que pour tout n>=1 on a Pn=>Pn+1
On suppose que Pn est vrai c'est-à-dire
1/n!<=1/2^(n-1)

demontrons que 1/(n+1)!<=1/2^(n-1+1)
soit 1/(n+1)!<=1/2^n

alors si j'ai bien compris on doit partir de Pn est essayer de trouver
1/(n+1)!<=1/2^n

enfin moi j'ai essayer de faire sa mais j'y arrive pas ...???

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[invite3ac51b88]

personne pour m'eclairer???

[lolouki]

bon tu es tres bien parti ( superbe redaction en tout cas ^^)

on sait que : 1/n!<=1/2^(n-1)

Or 1/(n+1)! =1/(n*n!)

donc d'apres p(n) on a : 1/(n+1)! <= 1/(n*2^(n-1))

or supposons n>=2 alors n*2^(n-1) >= 2^n

En passant a l'inverse de cette expression tu devrais trouver ton bonheur je pense

[invite3ac51b88]

j'ai pas trop compris...

on part de 1/n!<=1/2^(n-1)
on multiplie le denominateur par n c'est sa ?
1/(n*n!)<=1/(n*2^(n-1)) ...?

mais l'histoire du on suppose n>=2
alors n*2^(n-1) >= 2^n
pourquoi on laise pas n>=1

et si apres je passe a l'inverse j'ai
1/(n*n!)<=1/2n c'es pas egale a 1/(n+1)!<=1/2^n

aidez moi pleaz lol

[A voir en vidéo sur Futura]

[lolouki]

Alors jutilsie n>=2 comme ca quand je multiplie j'obtient mon 2^n.

quand on passe a l'inverse j'obtient bien au finale 1/(n+1)!<=1/2^n .

[Gwyddon]

Tu as bien compris l'idée du raisonnement

Maintenant passons à la pratique.

Tu travailles sur 1/(n+1)! :



Vois-tu maintenant comment utiliser ton hypothèse de récurrence, à savoir

?


EDIT : bon le temps d'écrire tout ça et déjà plein de réponses

EDIT2 : lolouki tu pars sur une faute, on a plutôt (n+1)! = (n+1)*n!

[invite3ac51b88]

oki pr le n>=2 mais pourquoi sa
1/(n*n!) sa devient 1/(n+1) lorsque qu'on multiplie pas 2 ?? je sais pas si vous allez me comprendre...

[invite3ac51b88]

et pour gwyddon non je vois pas comment utiliser mon hypothese de recurrence c'est ce qui me fait toujours defaut je vois pas comment aboutir a mon resultat de depart... le fait qui est ce ! sa me trouble

[invite3ac51b88]

et meme comment vous faite pour dire que
1/(n+1)! = 1/(n+1)*n!

[kNz]

et meme comment vous faite pour dire que
1/(n+1)! = 1/(n+1)*n!

C'est la définition de factoriel n :

n! = n(n-1)(n-2)...1
(n+1)! = (n+1)n(n-1)...1 = (n+1)n!

[invite3ac51b88]

je ne comprends rien... je ne fais pas expret en plus peut etre que la reponse est sous mes yeux mais j'y arrive vraiment pas

[kNz]

je ne comprends rien... je ne fais pas expret en plus peut etre que la reponse est sous mes yeux mais j'y arrive vraiment pas

On t'en veut pas rassure toi

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ? C'est à cause de n! ?

n! est le produit de tous les entiers naturels inférieurs à n jusqu'à 1 :

n! = n(n-1)(n-2)(n-3) ... 3*2*1

Par exemple, pour n=4, tu as :

4! = 4*3*2*1 = 24

Maintenant, à quoi est égal (n+1)! ?

[invite3ac51b88]

(n+1) sera egale a
(n+1)x(n)x(n-1)....x3x2x1

[kNz]

Oui voilà, toi ce que tu veux, c'est pouvoir utiliser l'hypothèse de récurrence, donc il faut te ramener à n!

Est-ce que tu vois comment t'y ramener à partir de l'expression que tu viens de m'écrire ?

[invite3ac51b88]

ahhhhh d'accord donc sa sera egale a (n+1) n! c'est pour sa qu'il apparaissait
donc on part du 1/(n-1)!<=1/2n et on remonte pour retrouver le pn de depart 1/n!<=1/2n-1

1/(n+1)n!<= 1/2n
et la...

[invite3ac51b88]

si je fait
1/(n+1)n!<=1/2^n

je soustrait des deux cotés par 1/(n-1)

j'aurai 1/n!<=1/2^n - 1/(n-1)

desolé j'avais oublier les puissance de n...

[invite3ac51b88]

j'ai rien dis!! c'est pas au meme denominateur

[invite62415c82]

Il sort d'où le 1/2^n ? moi j'ai pris l'inéquation de départ, et en passant à n+1 j'obtiens cette inégalité:

1/(n+1)! <= 1/((2^n-1)(n+1))

J'ai multiplié des deux côtés par 1/n+1
mais la jsuis bloqué

[invite3ac51b88]

ben je dois prouver que c'est de inegalité sont egale je pars d'une pour tomber sur la 2eme

1/n!<=1/2^(n-1)

1/(n+1)!<=1/2^n