Suites, variations, récurrences...

[invite3ac51b88]

Bonjour j'ai un dm à rendre pour mardi sur les suites, et j'aurai voulu avoir des indications qui me permettrer de résoudre mon dm.
Je commence par l'exercice 2 :

On considère la suite (Un) définie par
Un= 2n-5/n-3 , pour n supérieur ou égal 4

1) Déterminer les variations de la suite (Un)>=4

je sais qu'on doit déjà prouver que la suite est constante et qu'elle ne s'annule jamais.
Le fait qu'elle ne s'annule jamais se voit facilement grâce à l'ensemble de définition puisque qu'avec n>=4 le dénominateur vaut au minimun 1. Elle ne s'annule donc pas.
Mais sinon je ne vois pas comment faire pour dire que la fonction est constante ...

Ensuite lorsqu'on sait que la suite est constante et qu'elle ne s'annule jamais on doit calculez Un+1/Un soit:

Un= 2n-5/n-3
U(n+1)= 2(n+1)-5 / (n+1)-3
U(n+1)= 2n-3/n-2

On a alors
U(n+1)/Un =2n-3/n-2 * n-3/2n-5 (on developpe)
=2n²-9n+9/2n²-9n+10
= n(2n -9 )+9/n(2n-9)+10

Ensuite il faut comparer se résultat à 1
au numerateur et au denominateur on a n(2n-9) termes identiques, on s'interesse alors à 9/10 on sait que 9/10 est plus petit que 1
Donc U(n+1) < Un
On en déduit que la suite est décroissante

2) Pour tout n>=4, calculer Un-2; en déduire un minorant de la suite (Un)

Un-2= (2n-5)/(n-3) - 2
Un-2=2n-5 - 2(n-3) /n-3
Un-2= 2n-5 - 2n -6 / n-3
Un-2= -11/n-3

Voila mais la je ne vois pas en quoi Un - 2 m'aiderais à trouver le minorant de la suite (Un)

3) Déduire des questions précédentes que la suite (Un) est bornée...
Il faut d'abord que je répond à la question 2...
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[invite6ed3677d]

Bonjour,

Un= 2n-5/n-3 , pour n supérieur ou égal 4

Avec des parenthèse, ce serait mieux !!!
Un= (2n-5)/(n-3)
sinon, il y a confusion possible entre et . Mais bon, passons ....

Pour la suite (c'est le cas de le dire!) j'avoue que je ne comprends pas :
Tu veux prouver que la suite est constante et tu en déduis qu'elle est décroissante ? (J'avoue que mes cours sur les suites sont vieux mes je pense qu'une suite est constante si pour tout n , non ?)
Sinon, je trouve douteux ton calcul et tes simplifications en 9/10 ...
Ne serait-il pas plus simple de calculer ?

Pour la suite, (Un - 2), si n tend vers l'infini dans -11/(n-3) ... or Un est décroissante donc Un est minorée par ...

Et enfin, la suite est minorée. Si de plus elle était majorée, elle serait bornée. Donc, comme Un est décroissante ...

Bref, tu n'es pas trop loin de la solution
Bon courage

[invite3ac51b88]

Oui c'est vrai je me suis mal exprimée je voulais dire au départ que je dois prouver que Un est de signe constant et là c'est plus du tout la meme chose.
Je peux dire que vu que N>=4 le quotient sera forcément positif.

Sinon pour la suite il s'agit de Un= (2n-5)/(n-3) desolé pour la confusion

Mais par contre pour le Un+1/Un c'est une formule de cour qui dit que lorsqu'on a une suite qui est sous forme de quotient on doit:
*premierement verifié que Un est de signe constant et ne s'annule jamais
* Deuxiement on compare Un+1/Un a 1
*Pour finir On doit multiplier par Un l'inegalité formée entre Un+1/Un et 1 , ce qui permet de conclure ( mais il faut faire attention au cas (Un) negatif) ( la j'ai cité mon cours)

Mais sinon je ne vois toujours pas ce que je dois faire pour l'histoire du minorant. Je dois utiliser les limites ??

[invite6ed3677d]

Ok pour le quotient, si tu es sure que Un est de signe constant.

Oui pour les limites, pour n tendant vers l'infini positif. Puis tu en déduis un minorant (avec 2 par exemple ... !).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3ac51b88]

pour ce qui concerne le minorant je peux faire :

Un - 2= (2n-5)/(n-3) - 2
limite quand n tend vers +oo de Un - 2 = 0
puisque la limite en + oo de (2n-5)/(n-3) = 2
Ensuite on fait 2-2 = 0

Le minorant de la suite (Un) est 0 ???

[invite6ed3677d]

puisque la limite en + oo de (2n-5)/(n-3) = 2

Comment tu sais ça ?

C'est justement ce qu'il faut prouver !!!!
La limite de -11/(n-3) en +inf c'est 0 donc celle de Un, c'est 2.

De plus, Un est décroissante donc 2 minore Un.
(pour tout n, Un > 2)

[invite3ac51b88]

Ah pour trouver le minorant fallait que je m'occupe seulement de Un et pas de Un - 2 ...
Parce que si il faut juste s'aider de Un la limite de
Un=(2n-5)/(n-3) est 2
et c'est comme sa que j'en deduit le minorant de la suite Un c'est a dire 2

[invite6ed3677d]

Non non non !
Je repose ma question :
Comment sait-tu que la limite de Un c'est 2 ?
Normalement, tu n'es pas censée le savoir. C'est pour le trouver qu'on te demande de trouver la limite de Un - 2 c'es-à-dire celle de -11/(n-3) donc 0.
Ensuite, tu peux en déduire que la limite de Un c'est 2 puisque tu sais que celle du Un - 2 c'est 0 !
Et seulement maintenant, tu peux dire que 2 est le minorant (car la suite est décroissante).

[invite3ac51b88]

ah d'accord c'est plus clair maitenant,
Je commence par prouver que la limite de -11/n-3 est 0 ensuite je mappuie sur ce resultat pour dire que Un =2 puisqu'on rajoute 2 a Un-2 pour avoir Un ( je sais pas si vous allez me comprendre ...)

je savais que la limite de Un etait 2 car je l'avais calculé...

Donc maitenant j'ai le minorant qui est 2 et je dois en deduire que la suite est bornée puisque Un= (2n-5)/(n-3)
pour N>=4
je fais un tableau de variation nan ..

on prend x=n
on sait que f(4)=3 et puis quand +oo la limite est 2
Un est bornée par 3 et 2 ???

[invite3ac51b88]

mais pour l'histoire de Un -2 il s'agit de Un plus loin -2 le moin 2 n'est pas en indice donc je peux quand meme dire que la limite de Un est 2??

[invite6ed3677d]

je savais que la limite de Un etait 2 car je l'avais calculé...

Calculer n'est pas démontrer !!!

Pour montrer que la suite est bornée :
pas vraiment besoin de tableau de variations (qui s'applique plus aux fonctions et non aux suites). J'ai vu que tu avais eu l'idée d'introduire une fonction mais c'est pas trop possible de passer d'une suite à une fonction continue puisque la suite est définie sur N (ou une restriction de N) et les fonctions sur R ...

Il faut simplement dire que la suite est décroissante, minorée par 2 et que son maximum est atteint à n=4 donc quelle est bornée avec 2 et 3 pour extrema !
L'idée était là mais il faut faire attention à la rédaction (c'est pas de la physique !!!!)
Bon courage pour la suite !

[invite3ac51b88]

d'accord et merci pour les indications

[invitef666d0fa]

salut..
je pense que suis arrivée un peut en retard..
bon c bien resolut mais appuis toi bien sur la rédaction et les calculs..et essaie de tt démonter..
pour dire que u_n ne s'annule pas c plus élégant de raisonner par l'absurde..