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Convergence uniforme sur un segment=> sur R+



  1. #1
    Gpadide

    Convergence uniforme sur un segment=> sur R+


    ------

    Bonjour, j'ai une question concernant la convergence uniforme des suites de fonctions :
    Si on a reussi a montrer qu'une suite de fonctions converge uniformément sur tout segment inclus dans R+ vers une fonction f, suffit il de dire que la suite de fonctions tend, quand x tend vers l'infini, vers lim de f en plus infini ?
    Sinon, y a t il une methode pour procéder a cette généralisation (quand on peut bien sur) ?

    -----

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  3. #2
    GuYem

    Re : Convergence uniforme sur un segment=> sur R+

    Salut.

    Je crois que j'ai pas compris ta question, tu peux reformuler stp ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #3
    Gpadide

    Re : Convergence uniforme sur un segment=> sur R+

    Bonjour, j'ai une question concernant la convergence uniforme des suites de fonctions :
    Si on a reussi a montrer qu'une suite de fonctions converge uniformément sur tout segment inclus dans R+ vers une fonction f, suffit il de dire que la suite de fonctions tend, quand x tend vers l'infini, vers lim de f en plus infini pour conclure qu'il ya convergence uniforme sur R+?
    Sinon, y a t il une methode pour procéder a cette généralisation (quand on peut bien sur) ?

  5. #4
    GuYem

    Re : Convergence uniforme sur un segment=> sur R+

    Ah je comprends mieux.

    Alors, si il y a convergence uniforme sur tous les segments de R+, tu ne peux pas conclure à la convergence uniforme sur R, pour la simple raison que c'est pas vrai ! Il y a des contres exemples de suite de fonction qui convergent uniformément sur tous les segments vers une fonction f, mais qui ne converge pas uniformément vers f sur R+ tout entier.

    Cependant, le plus souvent on demande de montrer que la fonction limite f est CONTINUE sur R+, et, dans ce cas, la convergence uniforme sur tous les segments suffit.

    (remplacer segments par compacts pour obtenir un principe d'analyse à retenir : localisation)
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Gpadide

    Re : Convergence uniforme sur un segment=> sur R+

    JE me suis encore mal exprimé alors. Je sais bien qu'il n'y a pas forcément convergence sur R+, je voulais juste savoir si la convergence sur un segment, et en plus une limite commune en +infini suffisaient a conclure quant a la convergence uniforme sur R+

  8. #6
    tize

    Re : Convergence uniforme sur un segment=> sur R+

    Citation Envoyé par GuYem Voir le message
    Il y a des contres exemples de suite de fonction qui convergent uniformément sur tous les segments vers une fonction f, mais qui ne converge pas uniformément vers f sur R+ tout entier.

    Cependant, le plus souvent on demande de montrer que la fonction limite f est CONTINUE sur R+, et, dans ce cas, la convergence uniforme sur tous les segments suffit.
    Tu es sûr ...?
    Il me semble que la suite : converge uniformément vers (qui est continue) sur tous les compacts mais pas sur
    Enfin je crois...non ?
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

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  10. #7
    GuYem

    Re : Convergence uniforme sur un segment=> sur R+

    Citation Envoyé par tize Voir le message
    Tu es sûr ...?
    Il me semble que la suite : converge uniformément vers (qui est continue) sur tous les compacts mais pas sur
    Enfin je crois...non ?
    C'est exactement ce que j'ai dit qu'il était possible d'observer.

    Pour la question de Gpadide, que j'ai enfin comprise, je ne saurais répondre
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  11. #8
    rvz

    Re : Convergence uniforme sur un segment=> sur R+

    Salut, si on essaye de démontrer l'assertion de gpapide on a besoin d'uniformité sur les limites, ie pas :
    Pour tout epsilon,
    Pour tout k, il existe N(k,epsilon) tel que
    |f_k (x) -l | < epsilon

    En effet, dans ce cas N(k, epsilon) peut partir à l'infini quand k tend vers l'infini.
    Il faut de l'uniformité quelque part, ie il faut que il existe un N(epsilon) tel que pour tout k, N(k,epsilon) <N(epsilon).

    Je suis sûr que ça devrait aider à trouver un contre exemple.
    __
    rvz

  12. #9
    edpiste

    Re : Convergence uniforme sur un segment=> sur R+

    L'exemple de tize donne une réponse négative à la question posée.
    En effet, chacune des sommes partielles tend vers +infty quand t tend vers +infty.
    Ceci est encore vrai pour la fonction limite (l'exponentielle).
    Pourtant, la suite des sommes partielles ne converge pas uniformément vers exp sur R tout entier.

  13. #10
    rvz

    Re : Convergence uniforme sur un segment=> sur R+

    Certes, mais si on suppose la limite finie. Dans le contre exemple de Tize, on a quand même deux infinis "de force différente" donc c'est clair que c'est divergent. J'aimerai bien un contre exemple avec des limites finies...

    __
    rvz

  14. #11
    edpiste

    Re : Convergence uniforme sur un segment=> sur R+

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    Certes, mais si on suppose la limite finie. Dans le contre exemple de Tize, on a quand même deux infinis "de force différente" donc c'est clair que c'est divergent. J'aimerai bien un contre exemple avec des limites finies...

    __
    rvz
    Si la limite est finie, l'hypothèse implique que f_n et f se prolongent en des fonctions continues définies sur l'ensemble (R^+)barre, à valeurs réelles.

    Je suppose pour simplifier que f=0.
    On remarque aussi que g_n\le f_n \le h_n
    où g_n=inf(f_k, k>=n) et h_n=sup(f_k, k>=n).
    Les suites g_n et h_n sont monotones et convergent simplement vers 0 sur le compact R^+bar.
    Par le théorème de Dini, la convergence est uniforme. Par le théorème des gendarmes, c'est aussi vrai pour f_n.

    Ca marche, non?
    Dernière modification par edpiste ; 05/10/2006 à 14h25.

  15. #12
    edpiste

    Re : Convergence uniforme sur un segment=> sur R+

    Non, ça ne peut pas marcher, sorry.
    On peut prendre tout simplement la suite
    de fonctions affines par morceaux tq

    fn(t) = 0 sur [0,n]
    fn(t) = 1 sur [n+1,n+2]
    fn(t)= 0 sur [n+3, +oo[

    Si vous voyez la faute dans la démo du précédent post, merci de me l'indiquer.

    edit: encore plus simple, la bosse translatée : prendre une fonction g à support compact et poser
    fn(t)=g(t+n)
    Dernière modification par edpiste ; 05/10/2006 à 14h38.

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  17. #13
    edpiste

    Re : Convergence uniforme sur un segment=> sur R+

    Le problème dans la démonstration fausse est je crois que les fonctions gn et hn convergent bien uniformément sur R^+ bar, mais pas nécessairement vers la meme limite.

  18. #14
    edpiste

    Re : Convergence uniforme sur un segment=> sur R+

    Désolé, je continue mon monologue (si ça intéresse encore quelqu'un). Voici une réposne complète à la question de départ.

    On se donne donc une suite de fonctions (fn) continues qui converge uniformément sur tout compact de R^+ vers une fonction notée f. On suppose de plus que que les fonctions fn et f admettent une limite commune L en +oo

    Premier cas : L est finie

    Alors la suite (fn) converge uniformément sur R tout entier si et seulement si la suite (fn) est équicontinue à l'infini ie



    preuve : on passe par le compactifié bar R^+ et on applique le théorème d'Ascoli

    applications : la famille (fn) est équicontinue à l'infini dans chacun des cas suivants

    1. la suite (fn) est monotone dans un voisinage de +oo
    2. chaque fonction fn est croissante sur un voisinage fixé de +oo
    3. la suite (fn) est uniformément lipschitzienne à l'infini ie

    Deuxième cas : L=+oo

    Alors la suite (fn) converge uniformément sur R tout entier si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites

    1. la suite (fn) est équicontinue à l'infini
    2. pour tout n,m, en +oo
    Dernière modification par edpiste ; 05/10/2006 à 21h19.

  19. #15
    edpiste

    Re : Convergence uniforme sur un segment=> sur R+

    Citation Envoyé par edpiste Voir le message
    2. pour tout n,m, en +oo
    Remplacer "pour tout n,m" par "il existe N tel que pour tout n,m>N".

  20. #16
    rvz

    Re : Convergence uniforme sur un segment=> sur R+

    Salut edpiste,

    Tu as donné le contre exemple que je demandais (La bosse).

    Comme je le disais, le problème est une question d'uniformité de la convergence en l'infini, ce qui revient à dire qu'il y a convergence uniforme de f_n su tout segment de Rachevé. D'ailleurs, le problème dans ta preuve vient du fait que les 2 topologies R et Rachevé ne sont pas les mêmes... Surtout en l'infini !

    __
    rvz

  21. #17
    edpiste

    Re : Convergence uniforme sur un segment=> sur R+

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    D'ailleurs, le problème dans ta preuve vient du fait que les 2 topologies R et Rachevé ne sont pas les mêmes... Surtout en l'infini !
    Je ne suis pas tout à fait d'accord. La topologie de R achevé induit la topologie de R. En particulier, toute fonction continue su R qui admet une limite à l'infini est une fonction continue sur R achevé et réciproquement. Il n'y avait donc pas de problème de ce point de vue dans la preuve (le vrai problème était celui que j'ai mentionné plus haut, comme on peut le voir sur l'exemple de la bosse glissante pour lequel gn tend vers 0 et hn tend vers 1).

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