aide sur un dm avec numération et loi de composition interne.

[invite56f88dc9]

Bonjour.
Je n'arrive pas à démarrer 2 exercices de DM.
Merci de bien vouloir m'aider.

Exo1 :
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On note x_n = 100...01 (en bas 2), l'entier naturel à n chiffres tous égaux à 0 sauf les deux extrêmes qui valent 1, ceci en base 2. On remarquera donc que x₂ = 11 (base 2) et que x₃ = 101 (en base 2).
On demande de déterminer l'écriture binaire de (x_n)²

Pour celui la je ne vois pas comment démarrer.

Exo 2 :

Soit E un ensemble non vide muni des deux lois de composition interne, notées y et v , associatives et commutatives, et telles que, pour tout couple (a,b) d'éléments de E :
(1) a y (a v b)= a et
(2) a v (a y b)=a

1) Montrer que pour tout a appartenant à E, a y a =a.
2) Etablir que, pour tout couple (a,b) de E², les égalités a v b =a y b sont équivalentes.
3) Démontrer que pour tout couple (a,b)€ E², a Y b= b équivaut à a v b = a

Merci de bien vouloir m'aider.
-----

[invite455504f8]

Bonjour.
Je n'arrive pas à démarrer 2 exercices de DM.
Merci de bien vouloir m'aider.

Exo1 :
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On note x_n = 100...01 (en bas 2), l'entier naturel à n chiffres tous égaux à 0 sauf les deux extrêmes qui valent 1, ceci en base 2. On remarquera donc que x₂ = 11 (base 2) et que x₃ = 101 (en base 2).
On demande de déterminer l'écriture binaire de (x_n)²

Pour celui la je ne vois pas comment démarrer.

Merci de bien vouloir m'aider.

bonjour
une solution simple: écris xn en base 10, prend le carré (tu n'obtients que des puissances de 2) et reviens en base 2 en mettant des 1 aux bons endroits

[invitea3eb043e]

Ecris que 101 = 100 + 1 et élève au carré.

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Le premier exo est vraiment très simple: remarque simplement que x_n = 2^n-1 + 1, et développe le carré. Tu obtiens:
(x_n)² = 2^2n-2 + 2ⁿ + 1
ce qui te montre que (x_n)² comporte 2n-1 chiffres binaires, le premier et le dernier étant égaux à 1, les autres à 0 sauf celui qui correspond à 2ⁿ; par exemple (je mets les écritures binaires entre crochets):
(x₄)² = [1001]² = [1010001]
(X₅)² = [10001]² = [100100001]
(x₆)² = [100001]² = [10001000001]
À toi de trouver la règle générale... Attention tout de même pour n=2, (x₂)² = [11]² = [1001], il n'y a que deux chiffres 1.

-- françois

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6de5f0ac]

Pour le deuxième exo, la questino 2 me turlupine: "les" égalités doivent être équivalentes, mais je ne vois qu'une seule égalité!

-- françois

[invite56f88dc9]

fderwelt comment peux tu dire qu'il y a 2n-1 chiffre binaires ??
je ne vois pas d'ou ça sort

[invite56f88dc9]

pour l'exo 2 on démarre comment ??

[Médiat]

dans l'équation a y (a v b)= a remplace b par (a y b), et cela se déroule tout seul...

[invite6de5f0ac]

fderwelt comment peux tu dire qu'il y a 2n-1 chiffre binaires ??
je ne vois pas d'ou ça sort

Parce que pour n > 2 on a 2n-2 > n > 0. Donc les chiffres binaires 1 qui correspondent à 2^2n-2, à 2ⁿ et à 2⁰ sont à des rangs distincts. Il y a donc trois chiffres 1, le plus haut étant le (2n-1)-ième en partant de la droite et en considérant que le k-ème chiffre correspond à 2^k-1. (Pour t'n convaincre fais un dessin et numérote les chiffres de 1 à n en partant de la droite, et écris les puissances de 2 correspondantes).

Il n'y a que pour n=2 qu'il y a un problème, en effet [11]² = [1001] a 4 chiffres et pas 3.

-- françois

[invite56f88dc9]

Pour la justification, il suffit juste de dire qu'on remplace b par (ayb). Cela me paraît trop simple et je me demande pourquoi je n'y ai pas pensé avant....
Je vais poursuivre sur cette lancée.

[invite56f88dc9]

Dans l'exercice 2,pour la question2 j'ai montré les 2 sens.
La question 3 est tellement évidente que je ne vois pas comment la démontrer.

[invite56f88dc9]

J'ai réussi l'exo 1 grace à votre aidemais je n'ai toujours pas trouvé la question 3) pouvez vous m'aider svp.