DM de 1ère S : Loi de composition interne

[invite86827768]

Bonjour,

Je suis en 1ère S cette année, et le professeur de mathématiques nous a donné un DM de maths "hors programme" avec plusieurs notions d'algèbre dont la loi de composition interne dans un ensemble. Le problème, c'est qu'a une question on me demande :

La division est-elle une loi de compostion interne dans l'ensemble Z ?

J'ai répondu par un contre-exemple :
a = -4 et b = 5
Dc a/b = - 4/5 = -0,8
Comme -0,8 n'appartient pas à Z, on a :

avec E = Z et * = /

La division est-elle une loi de compostion interne dans l'ensemble Q^* des nombres rationnels non nuls ?

La, je n'arrive pas à prouver dans un cas général :
Si je comprend bien, je dois choisir 4 inconnues :
a appartient à Q^*, b appartient à Q^*, c appartient à Q^* et d appartient à Q^*.

Puis, je fais la division :
(a/b)/(c/d) = ad / bc

On sait que la multiplication est une loi de composition interne, donc :
ad appartient à Q^* et bc appartient à Q^*.

Mais le je suis bloqué, que faire ?

Merci d'avance à ceux qui pourront m'expliquer, car après dans le DM j'ai plusieurs cas à démontrer, et cela en général, donc avec des lettres, et la j'ai du mal. Merci d'avance à ceux qui pourront m'aider.

Paradize.

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[invite88ef51f0]

Salut,
Quelle est la définition d'un nombre rationnel ?

[inviteeca534e9]

pour la 1ère q tu as bien répondu par contre exp
pour le cas de la 2ème q
il s'agit bien d'une l.c.i en effet
pour deux nombre x et y de Q
il existe 4 nbr a,b,c,d de Z tq
x=a/b y=c/d
x*y= ad/(bc)

ad et bc appartiennent à Z
donc x*y est dans Q

[invite35452583]

pour le cas de la 2ème q
il s'agit bien d'une l.c.i en effet
pour deux nombre x et y de Q
il existe 4 nbr a,b,c,d de Z tq
x=a/b y=c/d
x*y= ad/(bc)

ad et bc appartiennent à Z
donc x*y est dans Q

Il y a tout de suite un petit problème, je prends a=b=d=1 c=0
j'applique x*y=(1.1)/(1.0)=1/0
On travaille sur Q* pas sur Q, la division n'est une loi de composition interne ni sur Q, ni sur R à cause du zéro.
Corriger ce petit problème n'est pas bien difficile par contre.

Algébriquement c'est bancal (pour le 1ère on sort de E=Z ceci nécessiterait une justification, le 2 en plus de la correction à amener il manquerait une justification de l'unicité de x*y, dans les deux cas on ne part pas de la définition d'une division b:a est, quand elle existe et est unique, de la solution à l'équation en y : a x y=b (où "x" est la multiplication). Maintenant pour un DM de 1èreS ça surtout hors programme ce qui est fait doit être suffisant mais je tenais à préciser.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite86827768]

Bonjour,

La définition des nombres rationnels sont des quotients d'entiers.

Donc, il faut que je dise que :

a appartient à Z^*, b appartient à Z^*, c appartient à Z^* et d appartient à Z^*.

Et je suis obligé de choisir x et y ? Je ne peux pas faire comme je l'ai fait avant ?

(a/b)/(c/d) = ad / bc

Puis dire ensuite, que comme la mutiplication est une loi de composition interne, j'ai donc ad appartient à Z^* et bc appartient à Z^* et en conséquent, j'ai un quotient d'entiers qui est donc bien Q^* ?

Je n'avais pas compris qu'il fallait définir a, b, c et d sur les entiers relatifs. Je vous remercie donc de m'avoir tous déjà bien aidé.

Paradize.

[invite86827768]

Je viens de comprendre pour quoi il faut définir x et y par a/b et c/d.
C'est pour la formule de la fin ! je n'avais pas compris !
Merci encore,

Paradize.

[invite7fe51962]

Hey Paradize21410 Mon prof de maths nous a donné le même Dm à faire ( enfin du moins les premiers exos sont les mêmes ). Je voudrais savoir si tu avais gardé ton ancien Dm pask je suis totallement perdue et je n'arrive pas à le faire. Si jamais tu l'as gardé pourrait tu m'envoyé un mail à l'adresse suivante pour m'aider stp :drmepeke@hotmail.fr .
Merci d'avance