Besoin d'aide pour rectangle d'or- Fonctions polynomes Second degré - 1ere S

[invite181dc367]

Bonjour,

J'ai un DM de maths a rendre lundi et je bloque pour quelques questions , voici l'énoncé et les deux questions ou je bloque, le reste c'est du tracage de figures, je n'ai donc aucun problème:

Les rectangles d'or:
Soit ABCD un rectangle d'or, c a dire un rectangle dont la longueur L et la largeur l vérifient L/l = phi . On suppose que L= AB et l = AD. On ampute ABCD du carré AEFD.
1) a) Montrer que L-l < l
b) Montrer que BEFC est encore un rectangle d'or


Pour la question a) j'ai pensé à tout mettre du meme coté , soit :
L - l - l <0
L- 2l < 0
puis de résoudre L - 2l=0
L/l = 2 et on sait que L/l = phi , mais ca ne me mène nulle part pour répondre a la question
Ou sinon, j'essaie de résoudre L-2l = 0
L/l = 2
L/l - 2l/l = 0
(L-2l)/l = 0
L-2=0
L= 2
Mais ca ne me mène nulle part, encore une fois ..

Pour la question b), voila ce que j'ai fait, mais je ne crois pas que c'est bon :
On veut montrer que BEFC est encore un rectangle d'or, soit L/l = phi .
L/l - l² = L/l - l^3/l
= (L-l^3) / l
= L/l - L^3/l
= phi - l^3/l ( car L/l = phi)
Comme il y a phi dans l'égalité, on peut en déduire que le rectangle est toujours un rectangle d'or ?


Merci d'avance pour votre aide,

Morena_x3
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[invite51d17075]

la question n'est pas claire.
ou sont E et F ?
pour le reste , connais-tu la valeur de phi ?

[invite181dc367]

AEFD est un carré situé à l'intérieur du rectangle ABCD , E appartient au segment [AB] et F appartient au segment [DC]
Oui, dans une question antérieure, j'ai défini phi = (1+racine de 5)/2 mais je ne crois pas qu'ici on va s'en servir étant donné la question posée

[invitea3eb043e]

Ne te casse pas trop la tête : dire que L < 2 l c'est dire que phi<2, ce que tu peux aisément vérifier avec la première calculette venue.
Ensuite, quelles sont les dimensions du grand rectangle : longueur = ?, largeur = ?
Et le petit rectangle : longueur = ?; largeur = ?
Reste à montrer que pour ces 2 rectangles, le rapport longueur/largeur est le même. Ca suppose que L/l a une valeur précise (phi, pardi !)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite181dc367]

On n'a pas les dimenssions des longueurs et des largeurs, on sait juste que l = AD et L=AB et AEFD est un carré de coté l.
On sait que L/l = phi

Donc d'après vous il suffit que je dise que :
On résoud L - 2l = 0
L= 2l
donc L/l=2
ce qui équivaud à phi=2
soit phi < 2 , (1+racine de 5)/2 <2
et cela suffit pour montrer que L-l < l ?

Est ce que c'est bon ce que j'avais mis pour la question b) ?

[invitea3eb043e]

Je ne sais pas où tu es allé chercher tout ça, je n'ai jamais dit que L= 2 l
Fais un dessin de rectangle de côtés L et l (disons que L>l). Ampute un carré là-dedans, il reste un rectangle de côtés L-l et l.
L'idée, c'est que le rectangle qui reste a pour grand côté l et pour petit côté L-l parce que L<2 l
Alors, il faut écrire que le rectangle de départ de côtés L et l a les mêmes proportions que le petit de côtés l et L- l (dans cet ordre car l > L - l)
Donc L/l = l/(L-l)
Si tu poses phi = L/l, ça donne une équation du second degré en phi, qui permet de calculer phi. On ne garde que la solution phi>1

[invite181dc367]

Donc, le raisonnement final pour cette question :
On a L - l<l
L-2l<0
L<2l
Le rectangle BCFE (celui qui reste) a pour grand coté l et pour petit coté (L-l) car L<2l
Le rectangle ABCD (celui du départ) de cotés L et l a les memes proportions que BCFE de cotés l et (L-l)
Donc L/l = l/(L-l) or L/l = phi
phi = 1/phi - 1 ( on multiplie par phi)
phi² = 1 - phi
phi² + phi - 1 =0
le discriminant est égal à 5 donc
x=(-1-racine de 5)/2 (<0)
ou x= (-1+racine de 5)/2 (>0)
donc phi = (-1 + racine de 5)/2

et d'après vous cela répond à la question " montrer que L- l <l ?

[invitea3eb043e]

Ben oui, il est simple de voir que phi<2 donc L < 2 l

[invite181dc367]

Ok, merci beaucoup, et pour la question " montrer que BEFC (le triangle qui reste) est encore un rectangle d'or", je dis quoi?

[invitea3eb043e]

BEFC serait plutôt un rectangle...
Comme il est semblable au rectangle d'or ABCD (mêmes proportions), il est lui aussi d'or. C'est d'ailleurs ainsi que tu l'as calculé.

[invite181dc367]

Oui mince desolée je ne sais pas pourquoi j'ai écrit triangle ^^
Ok merci beaucoup pour votre aide, ca m'a bien aidée !
Bonne fin de weekend