Fonctions polynômes du second degré

[invitecd6583fa]

salut tout le monde j'ai un problème avec mon dm de maths voici la question:

Déterminer un polynôme P du second degré tel que pour tout réel x:
P(x+1)-P(x)=x

si quelqu'un a une idée merci de m'aider , c'est urgent
-----

[invite1237a629]

Plop,

Pars du principe que tout polynôme du second degré s'écrit de la forme ax²+bx+c, avec a différent de 0.

[invitecd6583fa]

Plop,

Pars du principe que tout polynôme du second degré s'écrit de la forme ax²+bx+c, avec a différent de 0.

oui d'acor mais aprés chui bloqué je ne sais pas quoi faire

[invite1237a629]

Ben remplace

P(x) = ax²+bx+c
P(x+1) = ?

Après, tu écris P(x)+P(x+1) = x

Et tu essaies de résoudre =)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecd6583fa]

Ben remplace

P(x) = ax²+bx+c
P(x+1) = ?

Après, tu écris P(x)+P(x+1) = x

Et tu essaies de résoudre =)

mais je vai me retrouver avec une longue expression avec des a, des b et des c

[invite1237a629]

Euh P(x+1)-P(x)=x

Et tu verras que grâce au signe - tu en auras beaucoup moins

Le tout est de savoir que tout ce qui est multiple de x s'annule, tout ce qui est constant s'annule.

[invitecd6583fa]

Euh P(x+1)-P(x)=x

Et tu verras que grâce au signe - tu en auras beaucoup moins

Le tout est de savoir que tout ce qui est multiple de x s'annule, tout ce qui est constant s'annule.

je n'ai pa tou compris
...
moi je me retrouve avec:
2ax+a+b=x es-ce ça?? mai aprés ce n'est plu du secon degre non??

[invite1237a629]

Voui !

Je trouve ça aussi

Donc tu as 2ax + (a+b) = x

=> x(2a-1) + (a+b) = 0

Or, les deux termes de la somme ne s'annuleront jamais entre eux (à cause du x). Donc x(2a-1) = 0 ET a+b=0


Et tu auras a et b, que tu remplaces dans ax²+bx+c

[invitecd6583fa]

Voui !

Je trouve ça aussi

Donc tu as 2ax + (a+b) = x

=> x(2a-1) + (a+b) = 0

Or, les deux termes de la somme ne s'annuleront jamais entre eux (à cause du x). Donc x(2a-1) = 0 ET a+b=0


Et tu auras a et b, que tu remplaces dans ax²+bx+c

oui mai je nai pa tt compri et aprés le polynome p devien quoi??

[Gwyddon]

Bonsoir,

S'il te plaît je te rappelle que le langage SMS est interdit ici par respect pour les autres lecteurs, donc fais un effort. Merci.



Sinon je crois que l'on va reprendre à zéro

Qu'est-ce qu'un polynôme pour toi ? Si j'écris P(X) = 2X²+X+1, ça veut dire quoi ?

[invitecd6583fa]

désolé
ben p(x) est une fonction polynome du second degre

[Gwyddon]

Ok, mais concrètement, ça veut dire quoi pour toi ? Par exemple si je te demandes de calculer P(2), tu fais quoi et tu donnes quoi comme résultat ?

[invitecd6583fa]

Ok, mais concrètement, ça veut dire quoi pour toi ? Par exemple si je te demandes de calculer P(2), tu fais quoi et tu donnes quoi comme résultat ?

ben je remplace x par 2
p(2)=11

[Gwyddon]

ben je remplace x par 2
p(2)=11

Ok parfait ; tu as dit "je remplace", en fait tu viens de calculer quelle était l'image de 2 par la fonction P : x -> 2x²+x+2

Bon maintenant tu vois que X est une variable. Donc si je t'écris P(X)=aX²+bX+c, (a,b,c) ne sont PAS des variables, et P est bien un polynôme du 2nd degré.

Maintenant dans ton exercice, tu as une égalité P(X+1)-P(X) = X.

On appelle ça une égalité polynômiale, ça veut dire que tu dois avoir cette égalité quel que soit le nombre que tu mets à la place de X !!

Dis autrement, tu demandes que le polynôme Q(X)= P(X+1)-P(X)+X soit le polynôme nul, ie que pour n'importe quel nombre x, Q(x)=0


Jusque là ça va ?

[invitecd6583fa]

Ok parfait ; tu as dit "je remplace", en fait tu viens de calculer quelle était l'image de 2 par la fonction P : x -> 2x²+x+2

Bon maintenant tu vois que X est une variable. Donc si je t'écris P(X)=aX²+bX+c, (a,b,c) ne sont PAS des variables, et P est bien un polynôme du 2nd degré.

Maintenant dans ton exercice, tu as une égalité P(X+1)-P(X) = X.

On appelle ça une égalité polynômiale, ça veut dire que tu dois avoir cette égalité quel que soit le nombre que tu mets à la place de X !!

Dis autrement, tu demandes que le polynôme Q(X)= P(X+1)-P(X)+X soit le polynôme nul, ie que pour n'importe quel nombre x, Q(x)=0


Jusque là ça va ?

oui mais le polynome que l'on cherche est P...

[Gwyddon]

Oui en effet, mais ce que tu sais, ce que donnes l'énoncé c'est la connaissance de Q : il te dit que Q est nul.

Tu vas donc partir de là.

Comme tu ne connais pas P, tu sais juste qu'il est du 2nd degré, tu dois prendre P le plus général possible.

P(X)=X²+X+3 c'est un polynôme du 2nd degré particulier, P(X)=3X²-13X+9897 est un autre polynôme du 2nd degré particulier.

Tu remarques qu'ils ont tous la même forme : P(X)=aX²+bX+c, avec des valeurs (a,b,c) particulières (dans le premier cas : a=1,b=1,c=3 ; dans le second cas a=3,b=-13,c=9897)

Donc tu pars de :

_ le polynôme Q est nul

_ le polynôme P peut s'écrire P(X)=aX²+bX+c

_ Q s'exprime en fonction de P.


Ton boulot : déterminer a,b,c.

Alors avant ça, je vais te poser une question supplémentaire : si j'écris un polynôme R(X)=qX²+rX+s [/TEX] et que je dis que R en fait est le polynôme nul, ça veut dire quoi ? Que peux-tu dire des termes q,r,s ?

[invitecd6583fa]

Oui en effet, mais ce que tu sais, ce que donnes l'énoncé c'est la connaissance de Q : il te dit que Q est nul.

Tu vas donc partir de là.

Comme tu ne connais pas P, tu sais juste qu'il est du 2nd degré, tu dois prendre P le plus général possible.

P(X)=X²+X+3 c'est un polynôme du 2nd degré particulier, P(X)=3X²-13X+9897 est un autre polynôme du 2nd degré particulier.

Tu remarques qu'ils ont tous la même forme : P(X)=aX²+bX+c, avec des valeurs (a,b,c) particulières (dans le premier cas : a=1,b=1,c=3 ; dans le second cas a=3,b=-13,c=9897)

Donc tu pars de :

_ le polynôme Q est nul

_ le polynôme P peut s'écrire P(X)=aX²+bX+c

_ Q s'exprime en fonction de P.


Ton boulot : déterminer a,b,c.

Alors avant ça, je vais te poser une question supplémentaire : si j'écris un polynôme R(X)=qX²+rX+s [/TEX] et que je dis que R en fait est le polynôme nul, ça veut dire quoi ? Que peux-tu dire des termes q,r,s ?

R(x)=qx²+rx+s=0

[invitecd6583fa]

q=a r=b s=c

[Gwyddon]

q=a r=b s=c

Non non oublie a,b,c pour l'instant...

Bon je vais te le faire, et c'est très important que tu comprennes ce que je fais car c'est ce que tu n'as pas compris.

Dire que le R que je t'ai donné est le polynôme nul signifie que pour n'importe quel réel x, R(x) = 0

Donc entre autre, pour x=0 par exemple, R(0)=0.

Mais si R(x)=q x²+r x+s, tu vois bien que normalement R(0)=s : donc tu dois forcément avoir comme coefficient s=0, donc ton polynôme R est forcément de la forme R(X)=qX²+rX

Bon maintenant je vais prendre le réel 1 : j'ai encore R(1)=0, et pourtant R(1)=q+r. Donc en fait je dois avoir q=-r et en fait R(X) de la forme R(X)=qX²-qX.

Enfin si je prend le réel 2, j'ai toujours R(2)=0, et cela me donne forcément q=0




Donc la conclusion de tout ça c'est que si je dis qu'un polynôme est nul, ça veut dire que sa seule écriture possible c'est 0. Donc si je l'écris sous sa forme générale, TOUS ses coefficients sont égaux à 0


Ça va, as-tu compris jusque là ?

Petit exercice : si je prend un polynôme du 1er degré F, et que je dis que F est le polynôme nul, que peux-tu dire si on prend la forme générale d'un polynôme du 1er degré F(X)=zX+y ?

[invitecd6583fa]

Non non oublie a,b,c pour l'instant...

Bon je vais te le faire, et c'est très important que tu comprennes ce que je fais car c'est ce que tu n'as pas compris.

Dire que le R que je t'ai donné est le polynôme nul signifie que pour n'importe quel réel x, R(x) = 0

Donc entre autre, pour x=0 par exemple, R(0)=0.

Mais si R(x)=q x²+r x+s, tu vois bien que normalement R(0)=s : donc tu dois forcément avoir comme coefficient s=0, donc ton polynôme R est forcément de la forme R(X)=qX²+rX

Bon maintenant je vais prendre le réel 1 : j'ai encore R(1)=0, et pourtant R(1)=q+r. Donc en fait je dois avoir q=-r et en fait R(X) de la forme R(X)=qX²-qX.

Enfin si je prend le réel 2, j'ai toujours R(2)=0, et cela me donne forcément q=0




Donc la conclusion de tout ça c'est que si je dis qu'un polynôme est nul, ça veut dire que sa seule écriture possible c'est 0. Donc si je l'écris sous sa forme générale, TOUS ses coefficients sont égaux à 0


Ça va, as-tu compris jusque là ?

Petit exercice : si je prend un polynôme du 1er degré F, et que je dis que F est le polynôme nul, que peux-tu dire si on prend la forme générale d'un polynôme du 1er degré F(X)=zX+y ?

ça veut dire que z=0 ety=0

[Gwyddon]

Yeeeeees

C'est très bien

Donc maintenant revenons à ton problème initial :

Tu sais que Q est le polynôme nul, donc tous ses coefficients dans son écriture générale seront nul.

Or MiMoiMolette t'a guidé pour l'écriture de Q sous sa forme générale

Je te rappelle donc ce que tu avais :

2ax+a+b-x=0

Ie Q(X)=(2a-1)*X + (a+b), et Q est le polynôme nul.

Donc quelle relation cela te donne sur a et b ? Quelle est la valeur du coefficient a, du coefficient b ?

Ainsi, tu auras déterminé les coefficients a et b de P(X)=aX²+bX+c que tu cherchais.

[invitecd6583fa]

Yeeeeees

C'est très bien

Donc maintenant revenons à ton problème initial :

Tu sais que Q est le polynôme nul, donc tous ses coefficients dans son écriture générale seront nul.

Or MiMoiMolette t'a guidé pour l'écriture de Q sous sa forme générale

Je te rappelle donc ce que tu avais :



Ie Q(X)=(2a-1)*X + (a+b), et Q est le polynôme nul.

Donc quelle relation cela te donne sur a et b ? Quelle est la valeur du coefficient a, du coefficient b ?

Ainsi, tu auras déterminé les coefficients a et b de P(X)=aX²+bX+c que tu cherchais.

x(2a-1)=0 eta+b=0
a=(1+x)/2x et b=-a
est-ce ça??

[Gwyddon]

Attention, petite faute : X est la variable du polynôme dans son écriture générale, PAS un coefficient

Donc a+b=0 ok ; mais l'autre ?

[invitecd6583fa]

2a-1=0
???

[Gwyddon]

Parfait !

Donc tout ça va te donner quels doivent être obligatoirement a et b.

Mais au départ il y avait un troisième coefficient, le coefficient c ; or tu vois qu'il n'y aucune condition imposée dessus, ça veut dire que tu peux prendre n'importre quoi pour fabriquer ton polynôme P.

Tu as presque fini

[invite1237a629]

En gros, ce que veut dire Gwyddon, c'est que c'est bientôt fini : encore une cinquantaine de lignes et il t'aura expliqué la théorie des polynômes en homéomorphisme dans un anneau euclidien de dimension infinie :-°




Juste pour dire...bravo pour les explications, je vais m'en inspirer la prochaine fois que quelqu'un aura le même exo (genre c/c d'une url XD)

[invitecd6583fa]

comment ça je peut prendre n'importe quoi??

[Gwyddon]

comment ça je peut prendre n'importe quoi??

As-tu trouvé a et b ? Je te donne la réponse, mais je t'invite à vérifier que tu obtiens bien ça :

a=1/2, b=-1/2

Donc tu sais que P(X)=1/2 X² - 1/2 X + c

On te demande de trouver un polynôme qui est tel que Q(X)=0, or tous tes calculs ne te permettent pas de dire que c doit avoir une valeur bien précise : ça veut dire que

P(X)=1/2 X² - 1/2 X + 2 est une solution à ton problème, mais que

P(X)=1/2 X² - 1/2 X -12 en est une autre tout aussi valable

[invitecd6583fa]

j'ai trouvée la même chose youpi!!!!!!!!!
donc je peut prendre c=0 mais je le justifie comment??

[Gwyddon]

j'ai trouvée la même chose youpi!!!!!!!!!
donc je peut prendre c=0 mais je le justifie comment??

Tu prends c=0, et tu vérifies que ton polynôme donne bien P(X+1)-P(X)=X

En tout cas

Je vais y aller donc bonne nuit