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Besoin d'aide pour un exercice faisant appel aux polynômes (1ere S)



  1. #1
    VanDiepp

    Besoin d'aide pour un exercice faisant appel aux polynômes (1ere S)


    ------

    Bonjour à tous !
    Voilà, j'ai un exercice de Maths (pour un élève de 1ere S) qui me pose problème, et j'espère vraiment que quelqu'un pourra m'aider parce que je compte bien le résoudre intégralement .


    Voilà l'énoncé :

    ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    [AD] est un segment de milieu O, tel que AD = 10 cm ;
    C est un demi-cercle de centre O et de rayon OA ;
    B est un point du demi-cercle C.
    En D, on construit la tangeante au demi-cercle C ; elle coupe (AB) en C.
    On note x la longueur (en cm) de BC.

    Comment, à l'aide d'un compas, peut-on placer le point B sur le demi-cercle C pour que AB = BC + 3 ?

    ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Ce qui me pose problème et m'intéresse avant-tout, c'est la jusification du tracé, c'est à dire finalement comment trouver x ... (si j'ai bien compris ce que l'on attend.)
    Si je ne me trompe pas, cela fait appel aux polynômes.
    J'essaierai d'ajouter une image de la figure au plus vite, bien que ce ne soit pas nécessaire pour résoudre le problème.

    Merci d'avance pour votre aide ...

    -----

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  3. #2
    VanDiepp

    Re : Besoin d'aide pour un exercice faisant appel aux polynômes (1ere S)

    Voilà la figure :


  4. #3
    VanDiepp

    Re : Besoin d'aide pour un exercice faisant appel aux polynômes (1ere S)

    J'avais oublié de vous faire part de mes pistes de réflexions ...

    Voilà ce à quoi j'avais pensé :

    ABD est rectangle en B, puisque ABD est inscrit dans C [...]
    De plus, BCD est rectangle en B puisque A, B et C sont alignés et que l'angle ABD = 90°.
    Enfin, ADC est rectangle en D puisque [DC] est la tangente au cercle C.

    AB = BC + 3, or BC = x, d’où AB = x + 3 et AB² = (x + 3)² = x² + 6x + 9
    De plus, puisque A, B et C sont alignés, AC = AB + BC = x + 3 + x = 2x + 3 et AC² = (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9.

    Dans ABD rectangle en B, d’après Pythagore :

    AD² = AB² + BD²
    BD² = AD² - AB²
    BD² = 10² - (x² + 6x + 9)
    BD² = - x² + 6x + 91

    Dans BDC rectangle en B, d’après Pythagore :

    DC² = BD² + BC²
    DC² = x² - x² - 6x + 91
    DC² = - 6x + 91

    Dans ACD rectangle en D, d’après Pythagore :

    AC² = AD² + DC²
    AC² = 10² - 6x + 91
    AC² = - 6x + 191.

    Or, on a démontré que AC² = 4x² + 12 x + 9, autrement dit : 4x² + 12x + 9 = - 6x + 191
    <=> 4x² + 12x + 9 - (- 6x + 191) = 0
    <=> 4x² + 12x + 9 + 6x – 191 = 0
    <=> 4x² + 18x - 182 = 0

    4x² + 18x - 182 est un trinôme du second degré avec a = 4, b = 18 et c = - 182.

    Calcul de Δ :

    Δ = b² - 4ac = 18² - [4 x 4 x (- 182)]
    = 324 + 2912
    = 3236

    On en déduit que Δ > 0, donc l’équation 4x² + 18x - 182 = 0 admet 2 solutions distinctes :

    x1 = (- b- √Δ) / (2a) = (- 18 - √3236) / (2 x 4) ≈ -9, 36 (au centième près).
    x2 = (- b+ √Δ) / 2a) = (- 18 - √3236) / (2 x 4) ≈ 4,86 (au centième près).

    x1 est impossible, car cela implique que la longueur BC est négative. On en déduit que S = {x2}
    et x ≈ 4,86 cm (au centième près).

    J'ai besoin de savoir si c'est plutôt correcte ou pas du tout et où sont mes erreurs ...
    Merci d'avance

  5. #4
    VanDiepp

    Re : Besoin d'aide pour un exercice faisant appel aux polynômes (1ere S)

    Est-ce que quelqu'un pourrait me corriger s'il vous plait ?
    Je précise qu'il y a une erreur de frappe pour le premier triangle :

    BD² = 10² - (x² + 6x + 9)
    BD² = - x² - 6x + 91

    (Cela ne change rien par rapport à la suite)
    Dernière modification par VanDiepp ; 04/11/2009 à 15h16.

  6. A voir en vidéo sur Futura

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