loi de composition interne

[matthias]

Bonjour, je rame sur un problème de base et ça commence à m'énerver. Si vous pouvez me donner un coup de main...

Soit un magma tel que:

Montrer que est commutative.

C'est forcément tout bête, mais j'ai pas les yeux en face des trous. J'ai bidouillé un peu dans tous les sens, en remplaçant par et autres, mais je n'arrive pas à conclure.
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[invite56acd1ad]

Je propose de raisonner comme suit :

Pour tout , avec , on a : .

Puis avec , on a : .

D'où : .

Finalement, on a donc bien . D'où la commutativité...

J'espère ne pas m'être embourbé dans les x,y...

[matthias]

J'espère ne pas m'être embourbé dans les x,y...

Non, ça a l'air bon. Je savais bien que ça ne pouvait pas être très compliqué ...

Merci beaucoup.

[invite56acd1ad]

De rien, le coup du (x*y) était bien vu, il fallait ensuite penser à l'autre manip... C'est quand même bien c****t ces exos, faut vraiement être en pleine forme et sentir le truc parce que sinon on peut s'embarquer dans des calculs infinissables...
Bon d'accord, j'arrête de me plaindre...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite56acd1ad]

Dans le même style (non j'ai rien dit...) :

Soit * une loi associative sur E. On suppose que tout élément est régulier et que :
ou .
Montrer que * est commutative...

[matthias]

Si on a
donc par associativité :
comme est régulier, on obtient :
et pareil dans l'autre cas.

[invite56acd1ad]

Bien joué... ta démo est (bien) plus rapide que la mienne... j'en prends note...

Sinon, je proposais :
Si , alors on a : , puis par régularité de x.
On a ensuite : .
Or .
D'où : , puis , par régularité de y.

Et on procède de même si ...

[matthias]

Je l'avais aussi résolu à peu près de la même manière, et j'ai simplifié avant de poster