Des fois c'est bizarre les raisonnement par l'absurde...

[GuYem]

J'ai déjà rencontré dans ma vie des raisonnements par l'absurde que je qualifie de bizarre. Je m'explique :

D'habitude ça se passe comme ça :
On veut montrer . On suppose et on arrive à une contradiction. Souvent la contradiction est avec une propriété connue auparavant (genre on tombe sur ).
Du coup on a montré . Comme on sait que B est faux, on contrapose l'impication ce qui donne et du coup est vérifié

Jusque là tout va bien.

Seulement des fois la contradiction à laquelle on arrive porte sur la proposition à montrer elle-même! Et alors là on ecrit texto :
On va montrer par l'absurde.
Supposons
Blah blah blah...
On en déduit . C'est absurde.
Donc est vérifié.

Cela me gène un peu. Je pense qu'il y a moyen de transformer ces raisonnements par l'absurde "bizarres" en des raisonnements directs; mais j'ai vu des exemples ou je n'y parvenais pas...

Bref, quelqu'un voit de quoi je veux parler? des idées à soumettre?

Si je suis pas assez clair, j'essaierai de trouver un exemple concret de ce genre de raisonnement dans mes cours!
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[Antikhippe]

Salut,

Si je suis pas assez clair, j'essaierai de trouver un exemple concret de ce genre de raisonnement dans mes cours!

J'ai bien compris ce que tu as voulu dire, mais je ne vois pas dans quel genre de problème cela arrive, alors si tu as un exemple concret...

[matthias]

J'aimerais bien effectivement avoir un exemple.
Ceci dit, ça me semble quand-même rigoureux comme démonstration. Je ne vois pas vraiment ce que ça a de génant, on arrive bien à une contradiction.

[GuYem]

Ca je me disais bien que ça allait pas être clair comme explication, je vais chercher.
Cependant oui c'est bon comme raisonnement, c'est juste que je trouve que la fin :
"Donc A. C'est absurde! Donc A est vrai." est super déroutante.

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

Ca je me disais bien que ça allait pas être clair comme explication, je vais chercher.

Si si c'était clair, mais un exemple serait intéressant, c'est pas courant comme type de démonstration.

Cependant oui c'est bon comme raisonnement, c'est juste que je trouve que la fin :
"Donc A. C'est absurde! Donc A est vrai." est super déroutante.

D'autant plus beau, non ?

[GuYem]

Ah non je suis pas d'accord avec le fait que c'est beau. Je trouve ça moche personnellement.
Quoique....
Une fois que l'on a montré que est vrai, vu que la vérité de est la même que celle de ; on déduit que est vrai; cqfd.
C'est pas moche allez je te l'accorde.
Je cherche un exemple mais c'est chaud, ça arrive assez rarement...

[invite7fb56a46]

C'est que juste que la proposition "nonA" est contradictoire en elle même. C'est comme dire "tout ce que je dis est faux" c'est un non sens. Apres c'est à appliqué aux maths.
Non ?

[GuYem]

Euh je sais pas...
Ce genre de truc qui se mord la queue et qui n'a pas de sens, j'arrive pas à gérer. C'est surement pour ça que ça me gène ces absurdes bizarres.

[matthias]

C'est que juste que la proposition "nonA" est contradictoire en elle même. C'est comme dire "tout ce que je dis est faux" c'est un non sens. Apres c'est à appliqué aux maths.
Non ?

Non.
nonA n'est pas contradictoire en elle-même. Elle peut être vraie ou fausse (si A est fausse ou vraie) mais c'est tout.

Une autre de manière de voir cette démonstration par l'absurde bizarre. En logique mathémathique (VRAI => FAUX) est fausse et (FAUX => VRAI) est vraie.
Donc (nonA => A) ne peut être vraie que si A est vraie.

En même temps, je ne suis pas sûr que mon explication soit claire pour tout le monde ....

[GuYem]

Non.
nonA n'est pas contradictoire en elle-même. Elle peut être vraie ou fausse (si A est fausse ou vraie) mais c'est tout.

Une autre de manière de voir cette démonstration par l'absurde bizarre. En logique mathémathique (VRAI => FAUX) est fausse et (FAUX => VRAI) est vraie.
Donc (nonA => A) ne peut être vraie que si A est vraie.

En même temps, je ne suis pas sûr que mon explication soit claire pour tout le monde ....

Pour moi ça va. C'est en gros ce que j'ai expliqué 4 messages plus haut.

[matthias]

Pour moi ça va. C'est en gros ce que j'ai expliqué 4 messages plus haut.

Bah oui, je ne parlais pas pour toi.
De toute façon, toutes ces "démos" ou manière de voir sont équivalentes. Je pensais juste aux lecteurs du forum qui n'ont pas fait de logique mathématique, et qui lisent (FAUX => VRAI) est vrai...

exemple : toutes les grenouilles sont bleues donc certaines sont vertes
qui est une proposition à mon avis vraie

[invite7fb56a46]

J'ai du confondre (après Chirac je suis pas aux mieux de ma forme).

Je crois que qu'il avait une école de mathématicien (ou de philosophe) qui contestait les raisonnement par l'absurde qui ne peuvent être reformuler autrement (comme ce dont on parle justement). Pour eux il ne pouvait servir à démontrer (je sais plus c'est qui et ou j'ai lu cela dsl). Moi je les trouve plutôt joli.

[GuYem]

Bah oui, je ne parlais pas pour toi.
De toute façon, toutes ces "démos" ou manière de voir sont équivalentes. Je pensais juste aux lecteurs du forum qui n'ont pas fait de logique mathématique, et qui lisent (FAUX => VRAI) est vrai...

exemple : toutes les grenouilles sont bleues donc certaines sont vertes
qui est une proposition à mon avis vraie

euh justement tu cherches la petite bète là!
L'implication est vraie. Il ne faut pas confondre implication et proposition.

[matthias]

euh justement tu cherches la petite bète là!
L'implication est vraie. Il ne faut pas confondre implication et proposition.

Je ne confonds pas, je parle bien de la proposition (contenant une implication). C'est bien une proposotion construite à partir des deux autres.

[GuYem]

Je ne confonds pas, je parle bien de la proposition (contenant une implication). C'est bien une proposotion construite à partir des deux autres.

Ok aussi.

"Ne jouez pas sur les mots, mademoiselle Deray"

[matthias]

"Ne jouez pas sur les mots, mademoiselle Deray"

surtout qu'on est tous d'accord
Elle sort d'où cette citation ?

[GuYem]

la cité de la peur, le film de Les Nuls.

Bon j'ai cherché des exemples concrets mais j'ai pas trouvé, c'est moche.

[C.B.]

J'ai du confondre (après Chirac je suis pas aux mieux de ma forme).

Je crois que qu'il avait une école de mathématicien (ou de philosophe) qui contestait les raisonnement par l'absurde qui ne peuvent être reformuler autrement (comme ce dont on parle justement). Pour eux il ne pouvait servir à démontrer (je sais plus c'est qui et ou j'ai lu cela dsl). Moi je les trouve plutôt joli.

Tu pense à la logique intuitionniste ?
C'est une logique plus faible que la logique classique qui a historiquement été construite pour enlever le raisonnement par l'absurde (en partie) et pour avoir certaines bonnes propriétés :
Si on peut montrer "il existe x tel que A(x)" alors on peut trouver un terme t tel que A(t).
Et si on peut prouver "A ou B" alors on peut prouver A ou on peut prouver B.

Cette logique est encore utilisée, mais non pas pour ces propriétés là, mais pour son lien avec les programmes.

Sinon, les raiusonnement dans les quels à partir de non A on déduit A sont relativement courants, mais là comme ça je n'ai pas d'exemple.

[GuYem]

...
Sinon, les raiusonnement dans les quels à partir de non A on déduit A sont relativement courants, mais là comme ça je n'ai pas d'exemple.

Si t'en vois un passer, tu penses à nous. Et surtout tu te demandes si on peut pas faire autrement!

[spi100]

Bref, quelqu'un voit de quoi je veux parler? des idées à soumettre?

Si je suis pas assez clair, j'essaierai de trouver un exemple concret de ce genre de raisonnement dans mes cours!

Un exemple : le problème de l'arret d'une machine de Turing.

Il s'agit de montrer qu'il n'existe pas de programme halt() capable de déterminer si un programme P quelconque s'arrete ou par en boucle.

On suppose que halt(p) existe, avec p la chaine de caractères représentant le programme P . Cette fonction retourne 1 si P s'arrete ou 0 sinon.

On peut à partir de halt(), ecrire le programme

boucle_si_halt(p)
{
if ( halt(p,p) == false )
return
else
boucle_pour_toujours
}

boucle_si_halt est représenté par une chaîne de caractères que l'on nomme s. Rien n'empêche d'appliquer boucle_si_halt sur s. On a alors :

si boucle_si_halt(s) s'arrete alors halt(s) = true et boucle_halt(s) ne s'arrete pas.
Si boucle_si_halt(s) ne s'arrete pas alors halt(s) = false et boucle_halt(s) s'arrete.

On a bien ici un énoncé tel que A implique non A, avec
A = "boucle_si_halt(s) s'arrete ".

La conclusion que l'on en tire ici, est que boucle_si_halt() n'existe pas et ainsi halt() n'existe pas. De même dans le cas général 'A implique non A" permet de conclure que A n'existe pas.

[Gwyddon]

Salut à tous,

je vous propose un exemple en maths de ce type de raisonnement. Soit l'équation différentielle (d'aucuns auront reconnu une équation de Riccati )

Si je prend une solution maximale, il s'agit de montrer que I est un intervalle borné. Je vais juste montrer que I est majoré, dans l'autre sens le raisonnement est analogue.

Si je suppose I non majoré, alors il existe et pour tout on a

On divise , on obtient et on intègre entre a et x :

donc ayant bornée sur on a pour tout et I majoré : contradiction avec l'hypothèse de départ, donc I est bien majoré.

Bon mais c'est sûr, on peut faire autrement, en séparant les cas : si pour tout x dans I *c'est bon, sinon il existe a dans I tel que et c'est parti.

@+

julien

[spi100]

Un autre exemple:

Soit M l'ensemble des ensembles qui ne s'appartiennent pas.

Si M appartient à M alors M n'appartient pas à M.
Si M n'appartient pas à M alors M appartient à M.

M n'existe pas.

[invite56acd1ad]

Dans le même style, on peut aussi montrer que si on se donne une équation différentielle de la forme : et que est bornée (et ), alors toute solution maximale est définie sur tout entier...

Le raisonnement est un peu similaire à celui employé par Julien (du moins pour le début) : on suppose au contraire que est une solution maximale avec borné, ie. de la forme avec b fini (par le théorème de Cauchy-Lipschitz, c'est forcément un intervalle ouvert). Puis on montre que alors est intégrable sur tout intervalle de la forme où c>b, car étant bornée, est bornée sur [c,b[, et comme elle est continue elle est donc intégrable. Par suite, admet une limite finie en b car .
On peut alors appliquer le théorème de prolongement pour montrer que admet un prolongement à , lequel est solution du même problème de Cauchy que . Ceci contredit la maximalité de la solution . On en déduit que .
On procède de même pour montrer que .
En conclusion, une solution maximale de cette équation différentielle est définie sur tout ....


On peut montrer par un raisonnement similaire que s'il existe A et B deux réels positifs ou nuls tels que : , alors .


Indication : on pourra penser à utiliser le lemme de Gronwall...