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Raisonnement par l'absurde - Term S (spécialité)



  1. #1
    Mick_29

    Raisonnement par l'absurde - Term S (spécialité)

    Bonjour,
    Dans un exercice on me demande :
    Soit x et y deux entiers naturels x et y premiers entre eux et non nuls.
    S=x+y et P=xy.

    1.a) Démontrer que x et S ainsi que y et S sont premiers entre eux.
    (J'ai trouvé : PGCD (x, x+y) = d
    d/x et d/x+y donc d/x+y-x donc d/y donc d=1, même raisonnement pour le deuxième)

    b) en raisonnant par l'absurde, démontrer que S et P sont premiers entre eux

    c) Démontrer que les nombres S et P sont de parités différentes.

    Je ne sais pas vraiment comment m'y prendre pour les deux autres.
    Est-ce qu quelqu'un pourrait m'aider ?

    Merci!

    -----


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  3. #2
    Forhaia

    Re : Raisonnement par l'absurde - Term S (spécialité)

    Bonjour,

    pour la c, examine tous les cas possible de parités de x et y, et voit ce que cela donne pour S et P
    (un nombre pair est de la forme 2k
    et un impair est de la forme 2k'+1
    avec k et k' entiers relatifs)

  4. #3
    MiMoiMolette

    Re : Raisonnement par l'absurde - Term S (spécialité)

    Plop,

    Pour compléter Forhaia, tu peux dire que tu ne peux pas avoir le cas x et y pairs

    Je cherche pour la question 2 -.-

    Raisonnement par l'absurde = partir de pgcd(x+y, xy) = d, d différent de 1 entraînera une absurdité...
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  5. #4
    Forhaia

    Re : Raisonnement par l'absurde - Term S (spécialité)

    Pour démarer, il faut dire que si d divise S, d divise aussi Sx
    donc d divise PGCD(Sx,P)

  6. #5
    Mick_29

    Re : Raisonnement par l'absurde - Term S (spécialité)

    Merci !

    Pour le b) Soit d différent de 1 si d/S, d/Sx, donc PGCD (Sx ; P) = PGCD (x²+xy ; xy) =d
    donc d/x² + xy - xy donc d/x²
    donc d différent de 1 est impossible
    c'est bien ce qu'il faut trouver ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Mick_29

    Re : Raisonnement par l'absurde - Term S (spécialité)

    Pour le c)
    - si x et y sont pairs = impossible
    - si x et y impairs alors P impair et S pair
    - si x et y sont de parité différente alors S est impair et P est pair
    (je peux l'affirmer sdans le démontrer ? )

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  10. #7
    Forhaia

    Re : Raisonnement par l'absurde - Term S (spécialité)

    il y a de l'idée mais dire que d divise x2 ne suffit pas à dire que d=1

    il faut aussi écrire que d divise Sy, donc que d divise PGCD(Sy, P)
    donc d divise y2

    mais même comme ça je ne suis pas sur que tu puisse dire que comme d divise x2 et y2 et que x et y premiers entre eux, d=1
    Je réfléchis au problème...


    Je te conseille de faire plutôt comme cela:
    à partir de PGCD(Sx, P) et PGCD(Sy, P),
    utilise la propriété PGCD(ax,bx)=xPGCD(a,b)
    tu obtiendra d divise x et d divise y

  11. #8
    Forhaia

    Re : Raisonnement par l'absurde - Term S (spécialité)

    Pour les parités, je pense que tu peux les affirmer,
    bien que cela ne soit pas bien long à démonter.
    Après je ne suis pas prof, donc méfie toi quand même...

  12. #9
    Mick_29

    Smile Re : Raisonnement par l'absurde - Term S (spécialité)

    D'accord! Merci beaucoup !

  13. #10
    Bloodriversnake

    Re : Raisonnement par l'absurde - Term S (spécialité)

    Pour la c, c'est simple : si les deux sont pairs, leur pgcd est superieur a 2 or il S et P sont premiers entre eux donc leur pgcd est egale a 1. C'est impossible donc S et P ne peuvent pas tous les deux être pair.

    Si P impair xy impair donc x et y sont impairs.
    Si x et y sont impairs, S est pair : S=x+y=2k+1+2k'+1=2(kk'+1)
    Donc P et S ne peuvent pas tous les deux être impairs.

    Concluez !!!

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