Raisonnement par l'absurde - Term S (spécialité)

[invitedc734bd7]

Bonjour,
Dans un exercice on me demande :
Soit x et y deux entiers naturels x et y premiers entre eux et non nuls.
S=x+y et P=xy.

1.a) Démontrer que x et S ainsi que y et S sont premiers entre eux.
(J'ai trouvé : PGCD (x, x+y) = d
d/x et d/x+y donc d/x+y-x donc d/y donc d=1, même raisonnement pour le deuxième)

b) en raisonnant par l'absurde, démontrer que S et P sont premiers entre eux

c) Démontrer que les nombres S et P sont de parités différentes.

Je ne sais pas vraiment comment m'y prendre pour les deux autres.
Est-ce qu quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci!
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[Forhaia]

Bonjour,

pour la c, examine tous les cas possible de parités de x et y, et voit ce que cela donne pour S et P
(un nombre pair est de la forme 2k
et un impair est de la forme 2k'+1
avec k et k' entiers relatifs)

[invite1237a629]

Plop,

Pour compléter Forhaia, tu peux dire que tu ne peux pas avoir le cas x et y pairs

Je cherche pour la question 2 -.-

Raisonnement par l'absurde = partir de pgcd(x+y, xy) = d, d différent de 1 entraînera une absurdité...

[Forhaia]

Pour démarer, il faut dire que si d divise S, d divise aussi Sx
donc d divise PGCD(Sx,P)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedc734bd7]

Merci !

Pour le b) Soit d différent de 1 si d/S, d/Sx, donc PGCD (Sx ; P) = PGCD (x²+xy ; xy) =d
donc d/x² + xy - xy donc d/x²
donc d différent de 1 est impossible
c'est bien ce qu'il faut trouver ?

[invitedc734bd7]

Pour le c)
- si x et y sont pairs = impossible
- si x et y impairs alors P impair et S pair
- si x et y sont de parité différente alors S est impair et P est pair
(je peux l'affirmer sdans le démontrer ? )

[Forhaia]

il y a de l'idée mais dire que d divise x² ne suffit pas à dire que d=1

il faut aussi écrire que d divise Sy, donc que d divise PGCD(Sy, P)
donc d divise y²

mais même comme ça je ne suis pas sur que tu puisse dire que comme d divise x² et y² et que x et y premiers entre eux, d=1
Je réfléchis au problème...


Je te conseille de faire plutôt comme cela:
à partir de PGCD(Sx, P) et PGCD(Sy, P),
utilise la propriété PGCD(ax,bx)=xPGCD(a,b)
tu obtiendra d divise x et d divise y

[Forhaia]

Pour les parités, je pense que tu peux les affirmer,
bien que cela ne soit pas bien long à démonter.
Après je ne suis pas prof, donc méfie toi quand même...

[invitedc734bd7]

D'accord! Merci beaucoup !

[inviteca88788b]

Pour la c, c'est simple : si les deux sont pairs, leur pgcd est superieur a 2 or il S et P sont premiers entre eux donc leur pgcd est egale a 1. C'est impossible donc S et P ne peuvent pas tous les deux être pair.

Si P impair xy impair donc x et y sont impairs.
Si x et y sont impairs, S est pair : S=x+y=2k+1+2k'+1=2(kk'+1)
Donc P et S ne peuvent pas tous les deux être impairs.

Concluez !!!