Raisonnement pas l'absurde compliqué

[invite1ebe9ef8]

Bonjour, je suis en seconde et j'ai un DM de maths que je n'arrive pas a débuter:

Je doit, a partir d'un raisonnement par l'absurde (donné), montre que racine de 2 est un irrationnel

Pour cela, on part sur le principe que racine de 2 est un rationnel qui peut s'écrire sous la forme p/q ou p et q sont des entiers naturels non nuls.

1a) vérifier que p²=2q²
b)Déduisez en que p² est pair.

La b j'ai trouvé, car pour que p² soit pair, il faut qu'il soit divisible par 2. Donc si on a p² =2q² , on simplifie 2q² par 2, et donc p est aussi divible par 2 donc pair.


Ma question est:

pouvez vous m'aidez pour le a) et me dire si le b) est juste ou pas, sachant que je suis en début de seconde


Merci
Edouard
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[invite88ef51f0]

Salut,
Tu as écris la définition de p et q ?

[invite1ebe9ef8]

p et q sont des entiers naturels non nuls.


Donc oui

[invite88ef51f0]

Ce n'est pas tout...

Qu'est-ce que tu étudies dans cet exercice ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1ebe9ef8]

La je suis pas sur de te suivre, le theme du DM est :

Le but de ce devoir est de montrer que racine de 2 est un irrationnel en utilisant le raisonnement par l'absurde

Apres les questions que j'ai posé il y en a d'autre, mais c'est principalement ces 2 questions qui me posent probleme

[invite88ef51f0]

Et ça ne te gêne pas de ne toujours pas avoir utilisé racine de 2 ?

[invite1ebe9ef8]

Euh pour tout t'avouer je pensais qu'on devait l'utiliser plus tard dans les calculs, étant donné qu'on part d'un raisonnement par l'absurde...

En plus je ne vois vraiment pas comment placer racine de 2 ici...

j'ai bien tenter de faire un petit calcul mais je pense pas aboutir a la bonne chose:
(ici V siginifie racine car je sais pas comment le faire)

V2= p/q
V2*V2 =(p/q)*V2
2=V2*p/q
2p*1/q=V2 *pq/q


Mais je suis presque sur que c'est faux et vois pas comment m'en sortir...

[invite88ef51f0]

Comment passer de V2 à 2 et de p et q à p² et q² ?

[invite1ebe9ef8]

Ah d'accord

Merci beaucoup, j'ai compris

[invite88ef51f0]

Cool !
Pour la b précise bien que q² est entier.

[invite1ebe9ef8]

en fait j'ai c ompris mais je réussis pas...

V2 = p/q
2p/q = V2p[EXP]2[EXP]/q[EXP]2[EXP]


ok, mais apres...

[invite1ebe9ef8]

Et pour la b c'est bien:

on a

p² =2q²

Un nombre pair est un nombre divisible par 2.

Donc on a:

2q²

qui doit etre divisible par 2, en le simplifiant par 2 on a:

q²

qui est donc un nombre entier pair.

Comme p²=2q²
et que 2q² est pair, alors p² est pair.

C'est cela?

[invite88ef51f0]

Pour la, arrête de multiplier et passe à la puissance supérieure...

Et pour la b c'est bien:

Oui, sauf q² qui n'est pas pair...

[invite1ebe9ef8]

Ah oui j'ai mis une bétise pour la b:

comme on peut simplifier 2q² par 2,

c'est que 2q² est pair, donc il est en de meme pour p²


Par contre pour la a je te suis pas... Je passe tout au cube?



Edouard, la je pige vraiment pas pour cet question

[Guillaume.B]

Montrer que est irrationnel revient à montrer, par l'absurde, qu'il est rationnel. Par définition, un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme où a et b sont supposés premiers entre eux.

=



On en déduis alors que a² est pair, donc a l'est aussi. Il existe alors un réel k tel que a = 2k, soit a² = 4k². Ob substitue :

4k² = 2b²
2k² = b²

On en déduis alors que b² est pair, donc b l'est aussi. Il existe alors un réel m tel que b = 2m, soit b² = 4m². On substitue :

2k² = 4m²
k² = 2m², ce qui revient à a² = 2b².

De notre équation de départ on est arrivé à une autre équation identique, plus petite, après diverses transformations (divisions). Ce qui revient à dire alors que les solutions pour a et b sont divisibles par 2 à l'infini* (on pourrait recommencer les étapes précédentes à l'infini : "On en déduis que k² est pair, donc k l'est aussi. Alors il existe un réel n tel que k² = 4n² etc" et retomber, après diverses divisions, sur notre équation de départ). Or il n'existe aucun nombre ayant la propriété d'être divisible par 2 ,tout en donnant un résultat entier, à l'infini (hormis 0). On en déduis alors qu'il n'existe aucun réel a et b tel que . On en conclus donc que est irrationnel.

* = principe de la descente infinie

[invite1ebe9ef8]

Merci beaucoup Guillaume, pour le petit a, j'ai compris

V2 = p/q
2 = p/q * V2

et comme on sait que racine de 2 peut s'écrire sous la forme p/q on a:

2 = p²/q²
et on obtient donc:
p²=2q²

merci beaucoup

Pour la b, je pense que le raisonnement que j'ai donné est juste, car il me reste une série de question, donc si je prouve de suite que V2 est un irrationnel sa va pas aller

Mais je pense que je vais noter tout de meme ton raisonnement

Merci a tout le monde

[Guillaume.B]

Humm, mon raisonnement fait appel à un théorème non vu en Seconde (ni au Lycée d'ailleurs, mais si tu t'intéresses aux Olympiades Mathématiques, tu devrais le rencontrer). Il est très simple à comprendre, il stipule qu' "une suite infinie d'entiers décrosisants n'existe pas". Comme tu l'as remarqué, de notre équation de départ, on est retombé sur une autre équation identique mais plus petite (décroissante donc) car elle a subit des divisions entre temps, et vu qu'on peut réitérer ces mêmes transformations avec la nouvelle équation que l'on a obtenu à l'infini, alors on peut conclure, d'après le théorème de la descente infinie, qu'il n'existe aucun a et b. Mais pour éviter d'énoncer ce théorème, j'ai utilisé une autre formulation qui veut dire la même chose, au cas où tu aurais voulu utiliser mon raisonnement dans ton devoir .

Néanmoins, il existe un autre raisonnement plus simple et plus court :

[ ...]
a² = 2b²

On en déduis alors que a² est pair, donc a l'est aussi. Il existe alors un réel k tel que a = 2k, soit a² = 4k². Ob substitue :

4k² = 2b²
2k² = b²

On en déduis alors que b² est pair, donc b l'est aussi. Il existe alors un réel m tel que b = 2m, soit b² = 4m². On substitue :

2k² = 4m²

On vient de prouver que 2 divise à la fois a et b. Ce qui est contradictoire car on avait prit a et b premiers entre eux (cf : mon énoncé de mon précédent message). Donc en déduis qu'il n'existe aucun a et b tel que 2 = a²/b². Alors V(2) est irrationnel.

[invite1ebe9ef8]

Euh je pense le noter dans mon devoir, mais finir les questions tout de meme.

Apres avoir prouver que p² est pair je dois:

2a)Demontrer que si p est pair, alors p² est pair et si p est impair, alors p² est impair.

b)Déduisez en que p est pair.

3)Puisque p est pair, posons p=2p'
a)Démontrez alors que q²=2p'²
b)Déduisez en, à l'aide des questions précédentes que q est pair.
4)Pourquoi les réponses des questions 2 et 3 sont contradictoires avc l'hypothese? Déduisez en que racine de 2 n'est pas rationnel.

Voila tout mon DM.

Je mettrais mes réponses en ligne quand je les aurais faites

Edouard

[Guillaume.B]

Mon 1er raisonnement ne concorde pas avec ton exercice, tu aurais pu l'utiliser si l'exo aurait été plus "libre", là il y'a des questions très ciblées, je vais tenter d'y répondre :

Théorème "Si q² est pair, alors q est pair"

Démonstration : Raisonnons par l'absurde. Démontrons donc que si q² est pair, alors q est impaire.

Si q est impaire, il existe alors un réel k tel que q = 2k + 1

q² = (2k + 1)²
= 4k² + 4k + 1
= 2(2k² + 2k) + 1

Posons m = 2k² + 2k, on a alors :

q² = 2m + 1, donc q² est impaire, ce qui est contradictoire avec notre énoncé par l'absurde qui supposait q² pair. On en déduis alors que si q² est pair, alors q est pair aussi. De la même manière, si q² est impaire, alors q est impaire.

Après pour tes autres questions, elles sont faciles et sont présentes dans mes deux raisonnements . Pour la question 4), la réponse est dans mon dernier raisonnement parcontre

[Guillaume.B]

Après pour montrer que si "q est pair, alors q² est pair" :

Si q est pair, alors il existe un réel k tel que :

q = 2k
q² = 4k²
q² = 2(2k²)

Posons n = 2k², on a alors :

q² = 2n

On en déduis donc que si q est pair, alors q² est pair lui aussi.

[invite1ebe9ef8]

Merci, j'e viens de lire tout ton raisonnement, je vais le mettre pour papier voir si je comprend et je te dis tout ça

[invite1ebe9ef8]

Il y a plusieurs petits trucs que je ne comprend pas:

quand tu écris, de la meme maniere on prouve que si q² est impair, alors q est impair.

le raisonnement est le meme, mais sans raisonnement par l'absurde, on a donc:

Si q est impaire, il existe alors un réel k tel que q = 2k + 1

q² = (2k + 1)²
= 4k² + 4k + 1
= 2(2k² + 2k) + 1

Posons m = 2k² + 2k, on a alors :

q² = 2m + 1, donc q² est impaire

Jusque la pas de probleme

Par contre le 3) je ne comprend pas.

Si p est pair, posons p =2p'

dans ce cas, p' est la moitié de p.

Démontrez alors q²=2p'²

or on a p²=2q²
donc:
p²*(1/2)=q²
on a donc:

p'²=q²

Mais dans je devais trouver q²=2p'², r je ne vois pas comment faire apparaitre le 2 manquant...

[invite1ebe9ef8]

Démonstration : Raisonnons par l'absurde. Démontrons donc que si q² est pair, alors q est impaire.

Sauf qu'il faut prouver que si q est pair, alors p² est pair

Ceci dit, il me semble que ta démonstration par l'absurde marche quand meme...

[Guillaume.B]

Je vais tout recommencer

Par l'absurde on suppose que est rationnel, il en résulte alors qu'il existe deux réels, premiers entre eux, p et q tels que :

=

2 =

p² = 2q²

On en déduis alors que p² est pair.

Demontrer que si p est pair, alors p² est pair

Si p est pair, alors il existe un réel k tel que p = 2k. On a alors :

p² = 4k²
p² = 2(2k²)

Posons m = 2k², on a

p² = 2m. On en déduis alors que si p est pair, alors p² est pair lui aussi


Demontrer que si p est impair, alors p² est impair.

Si p est impair, alors il existe un réel n tel que p = 2n + 1. On a alors :

p² = (2n + 1)²
p² = 4n² + 4n + 1
p² = 2(2n² + 2n) + 1

Posons a = 2n² + 2n, on a alors :

p² = 2a + 1 qui est impaire.


Déduisez en que p est pair.

Nous avons vu que p² est pair, donc d'après notre démonstration précédente, on en déduis que p est pair.

3)Puisque p est pair, posons p=2p'
a)Démontrez alors que q²=2p'²
b)Déduisez en, à l'aide des questions précédentes que q est pair.
4)Pourquoi les réponses des questions 2 et 3 sont contradictoires avc l'hypothese? Déduisez en que racine de 2 n'est pas rationnel.

3)

p = 2p'
p² = 4p'² <=> 4p'² = 2q²
<=> q² = 2p'²

b) De cette égalité, on en déduis que q² est pair, donc q l'est aussi.

4) Nous venons de démontrer que 2 divise à la fois p et q, ce qui est contradictoire avec l'énoncé de l'absurde de départ qui supposait q et p premiers entre eux. On en déduis alors que est rationnel

[invite1ebe9ef8]

Ah d'accord, sauf qu'au début on me dit: p/q est une fraction irréductible ou p et q sont des entiers naturels non nuls.

Il faut que je dise que comme p/q est une fraction irréductible, alors p et q sont premier entre eux.

En totu cas merci beaucoup, c'est bien plus clair.

Autre question, je peux appliquer ce raisonnement a toutes les racines ou pas?

En tout cas merci beaucoup guillaume grace a toi j'ai compris

Edouard, content

[Guillaume.B]

De rien, bien sûr que tu peux :

Prouve que est irrationnel

Tu peux utiliser ici aussi le principe de la descente infinie .... Si tu veux un exo un peu plus compliqué qui sort du cadre de la Seconde mais que tu peux aborder grâce à ce principe :

Détermine x, y et z tel que

[invite1ebe9ef8]

Euh, pour l'instant je vais me contenter de mon DM.

Pour prouver que racine de 3 est irrationnel, j'essaierais en appliquant le principe de la descente infi (par un raisonnement par l'absurde encore une fois dans ce cas)

Pour ton équation, j'essaierais aussi.

Je pourrais t'envoyer mes résultats en privé pour que tu me disent si j'ai réussi ou pas?

[Guillaume.B]

Je t'envois mon MSN en privé

[invite61764f3f]

si racine de 2 est rationnel il s'écrit p/q avec pgcd(p,q) =1 (après simplification de la fraction)
p²=2q² donc p pair p=2s et q=2s² donc q pair ce qui contredit pgcd(p,q)=1 donc racine de 2 est irrationnel

un raisonnement très similaire montre que la racine d'un entier n est entière ou irrationnelle:
(p/q)²=n avec p/q irréductible p²=nq² tous les facteurs premiers de q divisent p donc q=1 et n=p²

[invite61764f3f]

pour xcube+2ycube=4zcube soit k le pgcd de x,y,z on divise par kcube et on est ramené (qui existe si x ou y ou z non nul
a la même équation avec x,y,z premiers entre eux
on a alors x pair x=2a 4acube +ycube=2zcube
d'où y pair et 2acube+aycube=zcube d'où z pair d'où la contradiction
il n'y a aucune solution entière à cette équation (sauf 0,0,0)
xi x/a,y/b,z/c était une solution rationnelle soit m le ppcm(a,b,c) on écrit les trois fraction avec ce dénominateur
on multiplie par mcube et on est ramené au cas des entiers