ces 2 normes sont elles égales?

[invite412f80f3]

Bonjour.
J'ai une question qui m'embete, je ne sais pas si quelqu'un peut me donner la réponse ou meme une indication. et merci bien davantage pour l'aide.
Si on se donne deux espaces de Hilbert séparables E et E et T un opérateur de E dans F.
La norme de Hiblert Schmidt de T est définie de la façon suivante

ou est une base de E et est la norme de F issue de son propduit scalaire.
La norme de T est définie de la façon suivante

ou est la norme de E issue de son propduit scalaire.
Ma question est: ces deux normes sont elles égales?
Sinon est ce que vous pouvez me donner un contre exemple.
Merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
Dhahri
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[invite455504f8]

non elles ne sont pas égales...essaie sur un exemple simple: une matrice 2x2 réelle (M_2(IR) est un espace de hilbert réel de dimension finie)

[invitedf667161]

Salut, un élément de réponse : ce serait bizarre que ces deux normes soient égales, sinon on ne les aurait pas définies séparément, non ?

Pour un contre exemple, je prends E=F=l^2(N), les suite complexes de carré sommables et T l'opérateur de shift :
T(a_0,a_1,a_2, ...) = (0,a_0,a_1,a_2,...)

Je prends pour base celle que tu attends e_n(k) = delta(n,k).

La norme de T au sens usuel est 1.

La norme de HS de T diverge puisque pour tout n, ||T(e_n)|| = 1.

En espérant ne pas avoir dit de bétises.

[invite412f80f3]

Merci bien pour vos réponses.
@feldid: Les espaces E et F sont de Hilbert séparables donc ils sont de dimension infinie forcément. Donc meme si je trouve un exemple comme tu m'as proposé je ne peux pas affirmer que le resultat est faux dans le cas de dimension infinie. Je ne me trompe pas non?
@ Guyem. Il me parait que l'exemple que tu m'as proposé m'affirme que cesdeux normes sont differentes. Je vais le regarder de plus prés (vérification que les 2 normes sont différentes pour l'exemple proposé). et je te fais signe si ça ne marche pas.
Merci bien encore une autre fois pour vos réponses
Dhahri

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite455504f8]

les espaces de dimension finie sont séparables!
mais si ça te gêne, il suffit que tu considères un sous-espace de dimension 2 d'un hilbert séparable de dimension infinie....

[invite412f80f3]

Je crois qu'on n'est pas sur la meme longueur d'onde.
Si je me rappelle bien: un espace de Hilbert est dit séparable s'il admet une famille dénombrable dense.
Donc comment tu me dis qu'un espase de dimension fini peut être séparable? je ne me trompe pas non?????????

[invite455504f8]

oui ç'est ça il contient une partie dénombrable et dense. Par exemple R est séparable puisqu'il contient Q qui est dénombrable et dense
la partie ne constitue pas nécessairement une famille libre (notion d'espace vectoriel), mais elle est dense (notion topologique)

[invite412f80f3]

Merci bien feldid pour la réponse. Mais encore une autre fois, R n'est pas un espace de Hikbert séparable. En effet, admettons qu'est de Hilbert séparble. Quel est le produit scalaire que tu vas considérer sur R.
Merci bien encore une autre fois

[invite6b1e2c2e]

Salut,

R est un espace de Hilbert en prenant la multiplication comme produit scalaire...Bilinéarité, distributivité, positivité, etc. Tout marche bien. C'est juste que c'est un formalisme un peu trop compliqué quand on parle de R, mais R est bien un espace de Hilbert séparable.
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rvz

[invite455504f8]

rien à ajouter à ce que dit rvz...sauf peut-être qu"un sous-espace fermé d'un hilbert est un hilbert, qu'un sous-espace de dimension finie est fermé donc...

[invite412f80f3]

Merci bien pour vos réponses. Je suis totalement convaincu.
Mertci mille fois