Complexes et arithmétiques

[invite56f88dc9]

Bonjour .
Je voudrais que vous m'aidiez sur des exos de mon long dm où je n'ai pas trouvé d'astuce.
Voici le début :

Trouver le reste dans la division par 7 de 2006ⁿ avec n=2006²⁰⁰⁶


J'ai juste trouvé que 2006 est congrue à 4 (7) donc 2006²⁰⁰⁶ congrue à 4²⁰⁰⁶
4³ est congrue à 1(7) mais après je ne vois pas.

Exo 2 :

Développer (z-i)⁹ et (z+i)⁹ par la formule du binôme de Newton (z complexe quelconque)
En déduire la résolution dans C de l'équation z⁹-(2 parmi 9)z⁷+(4 parmi 9)z⁵- (6 parmi 9)z³+9z=0

Là j'ai dévellopé mais je ne vois pas à quoi il faut arriver.
Merci de bien vouloir m'aider en attendant je vais chercher la suite du dm.

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[invite4b9cdbca]

Pour la 2 essaie de sommer tes deux développements. Que reconnais tu ?
Mais bon j'avoue ne pas m'être penché sur la suite...

[invite35452583]

Pour la deux, Kron a donné le début.
Ensuite, tu te ramènes à un f(z) sous forme de quotient=racine 9-ème de 1=a.
Tu résoud pour arriver à z=g(a) puis tu dis que a est une des racines 9-èmes (il faut peut être exclure un cas à cause du quotient, je n'ai pas regardé en détail)

Pour la 1)
le début est bon 2006 congru à 4 modulo 7.
Alors 2006^n est congru à 4^n modulo 7.
Or comme tu l'as remarqué 4^3 est congru à 1. Il faut désormais chercher à combien est congru n=2006^2006 modulo 3. D'où à combien est congru 2006 modulo 3 (un certain nombre b). Ce nombre b à une puissance p est congru à 1 modulo 3. On arrive au dernier exposant 2006 et on regarde à combien il est congru modulo p. Puis on remonte n=2006^2006 est congru à ? modulo 3 (en utilisant les simplifications possibles grace au travail fait précédemment), 2006^n est congru à ?? modulo 7.
Le plus difficile est de bien poser chaque étape. Pour éviter de s'emmêler dans les divers 2006, tu peux poser a=b=c=2006 et dire que tu cherches à combien est congru .

[invite56f88dc9]

Voici deux autres exercices où j'ai des problèmes :

On note A l'ensemble des nombres complexes de la forme x+iy(sqrt(5)) où x et y sont dans Z.

1) Vérifier que (A,+,x) anneau commutatif (là aucun souci).
2) u et v étant des éléments de A, on dit que u divise v dans A ssi il existe weA tel que v=uw.
Montrer que si u divise v dans A, alors u*conjugué de u divise v* conjugué de v dans Z (aucun souci).

3) Quels sont les éléments inversibles de l'anneau A?
J'ai des doutes car je crois que j'ai mal compris l'inversibilité.
D'après ce que j'ai compris les éléments inversibles de l'anneau A sont de la forme 1/(x+iy sqrt(5)) ????

4) Trouver tous les diviseurs de 3 dans A.(je pense les avoir trouvés)

5) On appelle premier tout élément u non inversible de A tel que les seuls diviseurs de u dans A soient les nomnres alpha ou alpha*u où alpha est un élément inversible de A.
Vérifier que 2+sqrt(5) est premier.
Grâce à l'étude faite au 4) montrer que 9 possède deux décompositions distinctes en facteurs premiers dans A.
(Là je bloque car je pense ne pas avoir compris la question 3).




Autre exercice :

Soit (G,+) un groupe fini. On note H l'ensemble des homomorphismes de (G,+) dans (C*,x). Pourquoi H pas vide ? (pas de souci).

1) Pour f et g éléments quelconques de H, on peut définir l'application produit notée f * g par : pour tout x€G, (f*g)(x)=f(x)g(x) .
Montrer que (h,*) monoïde abélien. (pas de souci).

(à partir de là je bloque)
2) Soient f fixé dans H et y fixé dans G.
a) Vérifier que l'application phi de G dans G qui à x associe phi(x) = x+y est une bijection.
b) Montrer alorsz que : pour x€G sommef(x) = pour x€G somme f(x+y).

3)Soit f fixé dans H tel qu'il existe y₀€G pour lequel f(y₀) différent de 1 .
Déduire de la question précédente la valeur du nombre complexe de somme f(x) pour x€G.

Merci de bien vouloir m'aider.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8a9c4639]

Bonjour sensor,

Pour ton 2eme exercice,

2) a)

On doit démontrer que phi est une bijection de G dans G. Pour cela on doit démontrer que tout élément G est l'image d'un et d'un seul élément de G.

Donc pour tout z appartient à G, on doit montrer qu'il existe un et seul élément x de G tel que :
z = phi(x)

C'est simple : z = phi(x) s'écrit z = x + y, donc en ajoutant l'inverse de y à droite sur les deux membres de l'égalité, on a : x = z + inverse(y). On voit que x existe et est unique.

2) b)

La bijection phi définit une permutation sur les éléments de G car G est fini. Donc :
pour x€G sommef(x) = pour x€G sommef(phi(x))

3)

On a :
pour x€G sommef(x) = pour x€G sommef(x+y₀)

Or f(x+y₀) = f(x)f(y₀) car f est un homomorphisme

On a donc :
pour x€G sommef(x+y₀) = pour x€G sommef(x)f(y₀) = f(y₀) * (pour x€G sommef(x))

Si on note a = pour x€G sommef(x), on a :
a = f(y₀) * a
Comme f(y₀) différent de 1, on en déduit :
a = pour x€G sommef(x) = 0

Est tu interressé par la correction du 1er exercice ?

[invitedf667161]

Est tu interressé par la correction du 1er exercice ?

Salur armor, c'est sympa d'aider sensor, mais je crois qu'il n'en demandait pas tant. De plus, ce n'est pas la politique du forum que de faire les exos des gens à leur place.

[invite56f88dc9]

Salut armor92 et merci de m'avoir répondu.
J'attendais pas tant pour le deuxième exercice, juste des pistes et indications.
Pour le 1er j'ai besoin des indications.
De plus j'ai besoin del'explication sur l'inversibilité car je n'ai pas du tout compris.
Merci pour ton aide encore.