Bonjour,
Quelqu'un peut m'aider à résoudre les équations différentielles suivantes:
Y''-X^2Y'-Y=0
et
(1+X^2)Y''+XY-Y=0
J'ai essayé plusieurs façons mais j'arrive pas à trouver la solution.
C'est très urgent, j'au un examen en début de semaine.
Merci d'avance,
Marco
Bonjour marco,
pour la seconde équation différentielle :
(1 + x²) * y'' + x * y' - y = 0
On peut réécrire cette équation différentielle :
(1 + x²) * y'' + 2x * y' - x * y' - y = 0
(1 + x²) * y'' + 2x * y' est la dérivée de : (1 + x²) * y'
- x * y' - y est la dérivée de : - x * y
L'équation différentielle peut donc s'écrire :
((1 + x²) * y' - x * y)' = 0
autrement dit, on a :
(1 + x²) * y' - x * y = a ( a constante de R )
On tombe donc sur une équation différentielle du premier ordre :
On peut chercher des solutions particulières de la forme : y = a*x + c
On vérifie que dans ce cas, on doit avoir c = 0
Une solution particulière est donc : y = a * x
On doit chercher la solution générale de l'équa. diff. homogène :
(1 + x²) * y' - x * y = 0
Cette équation peut se réécrire :
y'/y = x / (1 + x²)
ln | y | = 1/2 * ln ( 1 + x² ) + C (C constante de R)
Ceci nous donne : y = b * Rac( 1 + x² ) (b constante de R)
La solution de la 2eme équation différentielle est donc :
y(x) = a * x + b * Rac( 1 + x² ) avec a et b constantes de R
Pour la première equation différentielle :
y'' - x² * y' - y = 0
je continue à chercher...
Salut et bienvenue es.marco,
quele est ton niveau ? Tu as déjà entendu parlé de diagonalisation ?
Cordialement.
« Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca
merci pour votre aide.
J'ai oublié de précider que la question est de trouver une solution en serie.
Aujourd'hui, j'ai fait une petite recherche et je pense qu'avec la méthode de power series et le polynome de legendre on peut trouver quelques choses.
En posant:
Y(x)= somme de n=0 à infini de An Xn
Y'(x)= somme de n=1 à infini de nAn Xn-1
Y''= somme de n=2 à infini de n(n-1)An Xn
En prenant la formule:
As+2= (n+s)(n+s+1)/(s-1)(s-2) *As avec S=0,1,2,3,....
Que penses tu de ça.
merci d'avance.
Marco
Salut Martini,
J'ai entendu de tridiagonalisation mais vaguement.
Mon niveau est maîtrise mais ça fait longtemps que j'ai quité l'unversit.
Je prépare un examen en formation continue à l'université.
Poses ta question si jamais je connais la réponse ou une diée pour t'amener à la réponse, ça me ferait plaisir de t'aider.
Salutations,
Marco
Salut,
le développement en série deest nul donc ses coefficients aussi. On tire ainsi les relations de récurrence
Cordialement.
PS : je te parlais de diagonalisation car on peut écrire ton équation sous la forme
« Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca
