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Équa. Diff.



  1. #1
    es.marco

    Équa. Diff.


    ------

    Bonjour,

    Quelqu'un peut m'aider à résoudre les équations différentielles suivantes:
    Y''-X^2Y'-Y=0
    et
    (1+X^2)Y''+XY-Y=0

    J'ai essayé plusieurs façons mais j'arrive pas à trouver la solution.

    C'est très urgent, j'au un examen en début de semaine.

    Merci d'avance,
    Marco

    -----

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  3. #2
    armor92

    Re : Équa. Diff.

    Bonjour marco,

    pour la seconde équation différentielle :
    (1 + x²) * y'' + x * y' - y = 0

    On peut réécrire cette équation différentielle :
    (1 + x²) * y'' + 2x * y' - x * y' - y = 0

    (1 + x²) * y'' + 2x * y' est la dérivée de : (1 + x²) * y'
    - x * y' - y est la dérivée de : - x * y

    L'équation différentielle peut donc s'écrire :
    ((1 + x²) * y' - x * y)' = 0
    autrement dit, on a :
    (1 + x²) * y' - x * y = a ( a constante de R )

    On tombe donc sur une équation différentielle du premier ordre :

    On peut chercher des solutions particulières de la forme : y = a*x + c
    On vérifie que dans ce cas, on doit avoir c = 0

    Une solution particulière est donc : y = a * x

    On doit chercher la solution générale de l'équa. diff. homogène :
    (1 + x²) * y' - x * y = 0

    Cette équation peut se réécrire :
    y'/y = x / (1 + x²)

    ln | y | = 1/2 * ln ( 1 + x² ) + C (C constante de R)
    Ceci nous donne : y = b * Rac( 1 + x² ) (b constante de R)

    La solution de la 2eme équation différentielle est donc :
    y(x) = a * x + b * Rac( 1 + x² ) avec a et b constantes de R

    Pour la première equation différentielle :
    y'' - x² * y' - y = 0
    je continue à chercher...

  4. #3
    martini_bird

    Re : Équa. Diff.

    Salut et bienvenue es.marco,

    quele est ton niveau ? Tu as déjà entendu parlé de diagonalisation ?

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  5. #4
    es.marco

    Re : Équa. Diff.

    merci pour votre aide.
    J'ai oublié de précider que la question est de trouver une solution en serie.

    Aujourd'hui, j'ai fait une petite recherche et je pense qu'avec la méthode de power series et le polynome de legendre on peut trouver quelques choses.
    En posant:
    Y(x)= somme de n=0 à infini de An Xn
    Y'(x)= somme de n=1 à infini de nAn Xn-1
    Y''= somme de n=2 à infini de n(n-1)An Xn

    En prenant la formule:
    As+2= (n+s)(n+s+1)/(s-1)(s-2) *As avec S=0,1,2,3,....

    Que penses tu de ça.

    merci d'avance.
    Marco

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    es.marco

    Re : Équa. Diff.

    Salut Martini,

    J'ai entendu de tridiagonalisation mais vaguement.

    Mon niveau est maîtrise mais ça fait longtemps que j'ai quité l'unversit.
    Je prépare un examen en formation continue à l'université.

    Poses ta question si jamais je connais la réponse ou une diée pour t'amener à la réponse, ça me ferait plaisir de t'aider.
    Salutations,
    Marco

  8. #6
    martini_bird

    Re : Équa. Diff.

    Salut,

    le développement en série de est nul donc ses coefficients aussi. On tire ainsi les relations de récurrence et si avec un couple de constantes.

    Cordialement.

    PS : je te parlais de diagonalisation car on peut écrire ton équation sous la forme avec et ...
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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