Problème sur une suite

[invite527bba59]

Bonjour,
Un professeur de 1ere S m'a refilé un exo sur les suites qu'il n'arrivait pas a resoudre.
Je me suis dit que cela pourrait etre un exercice pour voir si j'ai bien retenu mon cours de Math Spé sur les suite/série.
Mais voila apres quelques recherches je n'arrive toujours a rien .
Voila donc l'énoncé, si quelqu'un pourrait pourrait le resoudre, que je comprenne si je suis passait a coté de qqch d'évident ou si la demo est plus complexe.

Soit Un la suite definit pour tout n de N par
Un=Somme(pour k allant de 1 a n) de n/(racine²(n²+k))

Montrer que Un est croissante.
-----

[invite7553e94d]

Je ne vois pas où est le soucis ... La différence entre le terme et le terme est le terme général de la série, à savoir
CQFD

[invitedf667161]

D'une manière générale, une série dont le terme général est une suite positive définit elle-même une suite croissante.

En gros, quand tu rajoutes des trucs positifs tout le temps, bin ça croit.

[invite3240c37d]

Je ne vois pas où est le soucis ... La différence entre le terme et le terme est le terme général de la série, à savoir
CQFD

Attention : . C'est plus compliqué puisque n'est pas ..
Try again ...p

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Attention : . C'est plus compliqué puisque n'est pas ..
Try again ...p

Salut,

Ca ressemble presque à une somme de Rieman ce machin.
Par exemple :

Du coup, on a que :

Donc U_n est équivalent à n.
Pour la question de la croissance, je suppute qu'une majoration de ce gout là donne le résultat voulu.

__
rvz

[inviteaf1870ed]

Je trouve que U_n+1 -U_nvaut


soit



Le premier terme est positif, le numérateur du terme à l'intérieur de la somme également, donc la suite est croissante, me semble t il ?

[invite4ef352d8]

a mon avi, vous vous compliquez la vie, c'est un exo de premiere...


enfait la fonction n->n/sqrt(n²+k) est croissante !

du coup en comparent therme a therme Un+1 >Un : Un+1 a plus de therme, et chaque therme de Un+1 majore un therme de Un (sauf le dernier)




si on veux montrer que Un->+oo :

somme de k=0 à n des n/sqrt(n²+k)>sommes de k=0 à n de (n/sqrt(n²+n))= n²/sqrt(n²+n) qui tend vers l'infinit.
donc la suite diverge vers plus l'infinit!

[invite4ef352d8]

pour montrer que n->n/sqrt(n²+k) est croissante, aux niveaux premiere le plus simple est encore de dérivé je pense.


a un niveaux un peu plus elevé on peut dire directement que son caré est une fonction Homographique de n², donc monotone, et on obtiens la croissance sur R+

[inviteaf1870ed]

a mon avi, vous vous compliquez la vie, c'est un exo de premiere...


enfait la fonction n->n/sqrt(n²+k) est croissante !

du coup en comparent therme a therme Un+1 >Un : Un+1 a plus de therme, et chaque therme de Un+1 majore un therme de Un (sauf le dernier)




si on veux montrer que Un->+oo :

somme de k=0 à n des n/sqrt(n²+k)>sommes de k=0 à n de (n/sqrt(n²+n))= n²/sqrt(n²+n) qui tend vers l'infinit.
donc la suite diverge vers plus l'infinit!

Oui cela revient à mon calcul de U_n+1-U_n

PS : terme sans "h", sinon tu te trouves dans l'eau chaude !
PPS : et infini sans "t"

[invite527bba59]

autant pour moi , j'ai commi une erreur dans la definition de la suite (c'est vrai que celle proposée était plutot simple). en fait il s'agit de demontrer la croissance de

Un=Somme(pour k allant de 1 a n) de 1/(racine²(n²+k))

car la , chaque terme de Un+1 est inferieur au terme correspondant de Un mais Un+1 a un terme de plus (le dernier)

De plus d'apres mathemaica elle semble converger vers 1...

[invite29f9ce05]

IL SUFFIT DE CALCUELR LA DIFFERNECE DE TERMES
Un+1 - Un =n/racine(le carré(n)+n+1) qui est un nombre positive d'ou la suite est croissante
amicalement

[invite527bba59]

non désolé, l'indice n apparait a une borne de la somme mais aussi sous la racine du terme général, donc ton calcul est faux