espace des matrices carrees complet

[inviteeb2c1159]

Bonjour

Je cherche à demontrer que l'espace des matrices carrees (dans R ou C) est complet. En prenant la norme ||A||1, j'ai essayé de constuire une suite dans K qui soit de Cauchy mais tout ça n'est pas très concluant. Si quelqun a une piste, je le remercie d'avance.

Cécile
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[invitedf667161]

Salut, il est de dimension finie sur R ou C, cela devrait suffire.

[invite4ef352d8]

Salut !

as tu vu l'equivalence de toute les normes en dimension finie ?

tu devrait bientot voir en cours, que tous les Ev de dimension finit sur R ou C sont complet.


pour montrer cela, il faut :

1) montré que R^n est complet. (tu sais le faire ? )
2) montré que tous Ev de dimension n sur R est isomorphe à R^n (en utilisant la projection dans une base quelconque de l'Ev, qui est continu car 1-Lipchitzienne pour une certaine norme...)



je pense que le plus simple ici est exactement d'appliquer cette methode a tous espaces.



NB : pour montré la completude, il ne faut pas construire une suite de cauchy, mais prendre une suite quelconque et montré que si elle est de cauchy alors elle converge !