Petite question sur le laplacien

[inviteeac53e14]

Bonjour!
J'aimerais juste savoir à quoi peut-on appliquer le Laplacien ? Dans les Monier il est écrit qu'on l'applique à un champ scalaire . Jusqu'ici tout va bien. Mon problème vient du fait que dans l'équation des ondes (dans le cadre de l'électromagnétisme) on utilise le laplacien du champ électrique (et également celui du champ magnétique) qui est un champ vectoriel. Alors d'où vient le problème ?
En admettant le fait qu'on applique le laplacien à champ vectoriel, un autre problème se pose à moi. Dans le livre Optique ondulatoire (de Agnès Maurel, éditions Belin), premier chapitre, on considère le cas de l'équation de propagation à une dimension, le vecteur position s'écrivant alors (x,0,0). On en déduit que le laplacien du champ électrique est réduit à sa dérivée seconde par rapport à x. Ce qui m'embête ce que le champ électrique est non seulement fonction du vecteur position mais également du temps. Pourquoi le laplacien est donc réduit à cette dérivée partielle ?

Merci beaucoup.
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[invite9c9b9968]

Salut,

Le laplacien d'un champ vectoriel, c'est juste le laplacien habituel mais composante par composante : un champ c'est 3 composantes scalaires, donc tu fais un laplacien par composante

Pour ce qui est de ta dernière question, n'oublie jamais que les opérateurs vectoriels sont indépendants du temps

[inviteeac53e14]

Salut,

Le laplacien d'un champ vectoriel, c'est juste le laplacien habituel mais composante par composante : un champ c'est 3 composantes scalaires, donc tu fais un laplacien par composante

Ah d'accord! Pour simplifier c'est comme le calcul de la divergence mais avec des dérivées secondes ? J'ai bien compris ?

edit : ou plus exactement c'est le vecteur de coordonnées les laplaciens des composantes ?

Pour ce qui est de ta dernière question, n'oublie jamais que les opérateurs vectoriels sont indépendants du temps

Je ne le savais pas du tout (je ne peux pas suivre les cours de physique de mon année de physique pour cause d'incompatibilité d'emploi du temps avec mon année de maths et du coup je ne bosse que sur les livres qui ne mettent pas forcément ce genre de détails ). Merci pour ce renseignement.

[invitea29d1598]

s'lut

Le laplacien d'un champ vectoriel, c'est juste le laplacien habituel mais composante par composante : un champ c'est 3 composantes scalaires, donc tu fais un laplacien par composante

euh, ça dépend... c'est vrai si les composantes du vecteur sont exprimées sur une base cartésienne... sinon c'est plus compliqué... pour des formules utiles cf Wikipedia

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

Oui bon commençons par simple avant de faire compliqué

[inviteeac53e14]

Ok j'ai compris.

Merci pour ton lien!
Par contre je n'ai pas compris ta remarque Rincevent : la définition de Gwyddon n'est-elle pas la même que celle de wikipedia ? (i.e : "Le Laplacien d'un champ vectoriel est un vecteur défini par le Laplacien scalaire de chacune des composantes du champ vectoriel")

[invitea29d1598]

la définition de Gwyddon n'est-elle pas la même que celle de wikipedia ?

exact, je ne l'avais pas lue

mais c'est inexact : si ton vecteur a ses composantes sur une base sphérique tu vois directement dans les formules qui apparaissent sur Wikipedia qu'il y a des termes en plus. Par exemple la composante phi du laplacien vectoriel n'est pas juste le laplacien scalaire appliqué à la composante phi du vecteur.

Si tu as fait un peu de géométrie différentielle, tu pourras vérifier que ce sont des termes liés à l'existence de coefficients de connexion car la (ou plutôt "une") déf propre du laplacien vectoriel est l'application de l'opérateur gradient covariant suivi du contravariant (ou inversement)... enfin, on peut faire plus propre mais au moins avec cette méthode là on oublie pas certains termes...

[invite9c9b9968]

propre du laplacien vectoriel est l'application de l'opérateur gradient covariant suivi du contravariant (ou inversement)

Les deux donnent la même chose, donc c'est bon ( non ? )

[invitea29d1598]

Les deux donnent la même chose, donc c'est bon ( non ? )

je comprends pas la question

les opérateurs commutent, oui, donc tu peux les appliquer dans n'importe quel ordre comme je le disais

[inviteeac53e14]

exact, je ne l'avais pas lue

mais c'est inexact : si ton vecteur a ses composantes sur une base sphérique tu vois directement dans les formules qui apparaissent sur Wikipedia qu'il y a des termes en plus.

C'est bien ce que je me disais après les avoir lu (ça donnait des laplaciens bien compliqués ).

[inviteeac53e14]

Si tu as fait un peu de géométrie différentielle, tu pourras vérifier que ce sont des termes liés à l'existence de coefficients de connexion car la (ou plutôt "une") déf propre du laplacien vectoriel est l'application de l'opérateur gradient covariant suivi du contravariant (ou inversement)... enfin, on peut faire plus propre mais au moins avec cette méthode là on oublie pas certains termes...

D'accord, il faudra que je regarde ça .


En tout cas merci pour ces précisions.

[invite9c9b9968]

je comprends pas la question

les opérateurs commutent, oui, donc tu peux les appliquer dans n'importe quel ordre comme je le disais

Disons que j'ai fait de la m*** et qu'on oublie mon message