Problème proba / jeu de cartes.

[invite514148c3]

Salut tous,

voilà je me suis posé ce problème aujourd'hui, et j'ai une solution, mais il m'est difficile de la vérifier (a vrai dire, j'ai l'impression d'obtenir des valeurs trop faibles comparé à l'expérience).

Alors le problème est le suivant :

* J'ai un jeu de N cartes (N entier naturel).

* Parmi ces N cartes, elles ne sont en fait pas toutes différentes. Il y en a seulement k (k entier inférieur ou égal à N) différentes.

Posons qu'il y en a un nombre :

-N1 du premier type
-N2 du 2ème type
-...
-Nk du k-ième type.

Avec, bien sûr, N1+...+Nk = N. On a N1, N2, etc connus.

* Je fais un tirage aléatoire de n cartes (n entier inférieur ou égal à N), sans remise (je "pioche" une "main" de n cartes).

Quelle est la probabilité d'obtenir une main comportant à la fois :
-au moins n1 cartes du premier type,
-et au moins n2 cartes du second type,
-...
-et au moins nk cartes du k-ième type ?

Ou encore : n1 exactement du premier type, plus n2 exactement du second type, ..., plus nk exactement du k-ième type, plus (n-n1-n2-...-nk) quelconques ?
(bien sûr, n supérieur ou égal à n1+n2+…+nk).



La solution à laquelle je suis parvenu très vite est disponible
ICI au format .pdf (avec un rappel de l'énoncé au début).

Mais l'application à des situations réelles ne me semble pas concluante, et j'avoue avoir quelques difficultés à trouver la faille du raisonnement s'il y en a une (je pense que c'est le cas). Toute aide ou remarque est donc la bienvenue ! Merci beaucoup
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[invite636fa06b]

Bonsoir,

Ce que tu évoques correspond à la loi "multinomiale". Si tes N cartes sont réparties en k familles d'effectifs respectifs dont la somme est égale à N.
La proba d'avoir exactement de chaque famille avec est donnée par


Ca ressemble à tes résultats qui m'ont quand même l'air trop compliqués

[invite514148c3]

Ca ressemble à tes résultats qui m'ont quand même l'air trop compliqués

hmm, alors là tu me tues... parce que j'avais fait ça au début... et bizarrement j'étais tombé sur une aberration qui m'avait conduit à tout reprendre à zéro et à écrire le truc ignoble du pdf...

il est cependant fort possible que j'aie juste déliré, en fait

je vais rejeter un coup d'oeil, en tout cas, merci pour m'avoir arrêté dans mes errements

[invite514148c3]

en fait, ce n'est pas exactement cela, car je n'ai pas Somme des ni = n dans mon énoncé. J'ai Somme des ni inférieure ou égale à n.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite636fa06b]

Il me semble qu'il suffit de rajouter une famille supplémentaire pour mettre les "quelconques"

[invite636fa06b]

A la réflexion, je ne comprends pas comment tu peux avoir une partition de la totalité des cartes en k familles et une main qui contienne des cartes "quelconques" qui ne soient pas dans une des k familles

[invite514148c3]

Il me semble qu'il suffit de rajouter une famille supplémentaire pour mettre les "quelconques"

Tu veux dire, rajouter une combinatoire au numérateur qui serait C(N-n1-n2-...-nk;n-n1-n2-...-nk) ?

Si c'est cela, je crois que cela ne marche pas, car si j'applique la formule dans le cas n=N, on voit tout de suite que le dénominateur vaut 1. Or les termes du dessus, eux, ont une valeur entière plus grande que 1 (sauf celui que l'on vient de rajouter qui vaut exactement 1), ce qui fait une proba supérieure à 1...

[invite514148c3]

A la réflexion, je ne comprends pas comment tu peux avoir une partition de la totalité des cartes en k familles et une main qui contienne des cartes "quelconques" qui ne soient pas dans une des k familles

Justement, elles sont dans l'une des k familles. C'est juste que je m'en fiche de savoir dans laquelle.

Exemple concret :

J'ai un jeu de N=60 cartes avec N1=13 cartes blanches, N2=19 cartes noires et N3=28 cartes rouges.

Je pioche une main de n=7 cartes.

Quelle est la probabilité pour avoir dans cette main :
-au moins n1=1 cartes blanche
ET
-au moins n2=2 cartes noires
ET
-au moins n3=1 carte rouge

?

[invite636fa06b]

Oui dans ce cas là c'est fastidieux.
Je ne pense que l'on puisse simplifier le calcul mécanique :
enumération des cas favorables et defavorables
choix des moins nombreux
calcul exhausitif des probas
sommation
Bonne nuit

[invite514148c3]

Oui dans ce cas là c'est fastidieux.

Bon déjà un bon point, je ne suis pas complètement une quiche quand même (je me suis fait une frayeur quand tu m'as ressorti la simple formule initiale)

Je ne pense que l'on puisse simplifier le calcul mécanique :

J'avoue que je serais étonné que ca ne soit pas le cas. J'en mettrai peut-être pas ma main à couper, mais j'ai le sentiment (sauf preuve du contraire bien sûr !) qu'il doit avoir moyen d'exhiber une formule uniquement multiplicative (je veux dire par là sans passer la fastidieuse addition des possibilités disjointes).

enumération des cas favorables et defavorables
choix des moins nombreux
calcul exhausitif des probas
sommation
Bonne nuit

lol ! j'arriverai quand même à m'endormir au bout du compte, va merci et bonne nuit à toi aussi

quelqu'un d'autre pour m'aider ?

[invite514148c3]

En fait, pour la précision, c'est une question théorique que je me pose. J'en ferai sûrement quelques applications pratiques, mais les calculs se feront sur ordi (par excel a priori).

Je cherche donc à obtenir, si possible, une formule plus "exploitable" que la somme conditionnelle sur n1+...+nk=n avec les ni chacun supérieurs ou égaux au minimum requis, de