(Algèbre) Equations et anneau

[invited4b84355]

Bonjour.

Mon professeur de Mathématiques nous a donné un devoir à rendre pour la rentrée. Le problème est que je n'ai réellement aucune idée de la façon de procéder pour résoudre les différentes équations ou systèmes d'équations qu'il a donné. C'est la première fois que je vois ce type d'équation.

Pouvez-vous m'aider à résoudre la première ? Je pense pouvoir m'en servir après pour résoudre les suivantes.

x²+4(barre)x+11(barre) = 0(barre) dans Z/16Z

Le "(barre)" signifit la classe du nombre (donc respectivement les multiples de 4, 11 et 0)

Merci.
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[inviteae1ed006]

ne signifie pas "les multiples de 11" mais l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrirent 1 avec , c'est la classe de 11 modulo 16

[invited4b84355]

Ha...

Merci :P

Enfin, le problème se pose toujours à moi. je ne vois pas vraiment comment résoudre l'équation.

[invite9cf21bce]

Salut !

Typiquement dans ce genre d'équation une factorisation permet de s'en sortir.
D'où les étapes suivantes :
1. on trouve une solution (ici, vu que 1+4+11=16, il y a une solution "évidente" ; sinon on magouille avec des ou des )
2. on conjecture une factorisation, grâce à la solution trouvée au 1., puis on démontre cette factorisation
3. on réfléchit (attention, comme Z/16Z n'est pas un corps, on ne peut pas dire qu'un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul)

Sinon, tu peux toujours essayer tous les éléments de Z/16Z... C'est pas si long, il n'y en a que 16...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Bonjour,
c'est une équation du second degré elle peut se mettre sous la forme (x+a)²-b²=0
On peut factoriser mais Z/16Z admet des diviseurs de zéro ce qui complique un peu mais c'est une voie possible.
Une autre que je pense plus efficace ici :
(x+a)²=b²
x+a=b.u où u est une racine de l'unité (il y en a 4 dans Z/16Z) d'où 4 solutions pour x+a puis 4 solutions pour x.

[invite9cf21bce]

(x+a)²=b²
x+a=b.u où u est une racine de l'unité (il y en a 4 dans Z/16Z) d'où 4 solutions pour x+a puis 4 solutions pour x.

Superbe, j'avais jamais pensé à ça... J'ajoute que ça marche parce que b est inversible (dans le cas présent).

Bash, oublie mon message précédent, la méthode d'homotopie est bien meilleure.

[invited4b84355]

Merci beaucoup pour les réponses.

Je vais tenter d'appliquer la méthode tout en relisant mieux mon cours (parce que je ne suis pas très sûr d'avoir tout compri)

[invited4b84355]

Merci des conseils. J'ai réussi à résoudre plusieurs équation.

Mais je tombe sur un nouveau problème :
x²+ = dans Z/65Z

Au début, je croyais qu'il suffisait de montrer que x²=, et donc j'ai déduire x² = 64 donc x=8. Solution : x=65k+8, k appatenant à Z

Mais en faisait des calculs aléatoires, je me rendais compte que certains nombres marchaient alors qu'ils ne sont pas censé être solution. (Je me daisais bien que c'était trop facil...)

[invite35452583]

Au début, je croyais qu'il suffisait de montrer que x²=, et donc j'ai déduire x² = 64 donc x=8. Solution : x=65k+8, k appatenant à Z

Ici encore 64 est inversible donc
(x/8)²=1 x=8 fois une racine carré de l'unité.
Comment trouver de telles racines?
Z/65Z est iso à Z/5ZxZ/13Z L'application est :
f(x+65Z)=(x+5Z ; x+13Z)
c'est un morphisme d'anneau (injectif divisible par 5 et par 13=>divisible par 65, inj=>bij pour une raison de cardinal).
Racines carrées de Z/65Z sont envoyés sur des éléments (y;z) où y et z sont des racines carrées de l'unité de leur anneau (qui sont des corps cette fois) respectif.
=>4 racines de l'unité chez Z/65Z (je te laisse les retrouver)