Une "évidence" en théorie de la mesure

[invite22a185a6]

Bonjour,
je me permets de rapporter ici un petit problème que je n'arrive pas à résoudre correctement
on définit l'intégrale d'une fonction étagée s:X->R+ de la forme :
s = Somme (i=1..n) alpha(i)*Khi(Ai)
comme:
integrale de s sur X relativement a la mesure mu =
somme (i=1..n) alpha(i)*mu(Ai)
hors on peut écrire s comme une somme de plusieurs manières différentes:
s= Somme (j=1..m) beta(j)*Khi(Bi)
Comment montrer que l intégrale des fonctions étagées est bien définie (preuve omise dans tous les ouvrages que j'ai consulté) c'est-à-dire:
somme (i=1..n) alpha(i)*Khi(Ai) =
somme(j=1..m)beta(j)*Khi(Bi)
Je ne trouve pas de preuve directe dont la simplicité expliquerait que la preuve soit toujours considérée comme triviale,et je serai intéressé par toute idée de preuve (courte en particulier)
PS:désolé pour la syntaxe (je sais pas utiliser Latex)
Merci
-----

[invite4793db90]

Salut et bienvenue,

je dirais que pour tout i, il existe au moins un j tel que (les et sont de mesure non-nulle) et alors ou bien ou bien .

Cordialement.

[invite22a185a6]

Bonjour,
tout d'abord merci pour ta reponse,
ensuite je vais construire ce que j'espére être un contre-exemple à ton assertion (le problème étant que je me suis mal expliqué au début):
soit s:R->R telle que s vaut 1 sur ]-4,-3]=A1

s vaut 2 sur ]-3,3[=A2
s vaut 1 sur [3,4[=A3
s nulle en dehors je pose alors
B1=]-4,-3.5],B2=]-3.5,-3]union[3,3.5[,B3=A2,B4=[3.5,4[
alors B2 ne contient pas ni n'est contenu par A1 ou A3.
Le problème vient du fait que je ne suppose pas i<>j(pour différent) => alpha(i)<>alpha(j)
Une construction pour laquelle la propriété i<>j=>alpha(i)<>alpha(j) (et pour laquelle ton assertion est vraie) est la suivante:
on part de la définition d'une fonction simple comme ayant un nombre fini de valeurs {alpha(1),..,alpha(n)}distinct es alors on associe a alpha(i) l'ensemble Ai qui est son image réciproque par l application simple de {alpha(i)} dans l'expression
s=somme(i=1,..,n) alpha(i)*Khi(Ai)
Hors cette construction rend très laborieuse les démonstrations des théorèmes de convergence de la théorie elle est donc toujours évité (cf le Rudin)
D'ou mon probleme de la bonne défintion de l'intégrale d'une fonction simple.

[invite4793db90]

Salut,

Ok pour le contre-exemple, j'ai été trop vite.

Hors cette construction rend très laborieuse les démonstrations des théorèmes de convergence de la théorie elle est donc toujours évité

Je ne vois pas ce que tu veux dire : ça me semble naturel de prendre des correpondants à des distincts... Je regarderai dans le Rudin cet après-midi.

Bonne journée !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

1234567890

[invite22a185a6]

Bonjour,
toujours pour préciser la question le problème apparait lorsque l'on veut montrer que
integrale(f+g)=integrale(f)+in tegrale(g)
je ne peux que te proposer d'essayer avec la construction utilisant les images inverses personnelement je bloque (d'ou le fait que je vous sollicite ).
Quoiqu'il en soit merci de m'avoir répondu.
P.S:je suis aussi incapable de comprendre le post d'ambrosio(en fait je doute qu'il ait un sens -_-;; ).

[invite10a6d253]

Il existe une forme canonique des fonctions étagées. Une preuve du résultat que tu cherches se trouve dans le poly de cours de Mazet à cette adresse :

http://www.math.jussieu.fr/~mazet/in...on/A1poly1.pdf

[invite22a185a6]

Bonsoir,
merci beaucoup pour ton lien je vais m'y plonger dès ce soir,
bonne soirée et encore merci