A la recherche de la fonction...

[invite73e9f390]

Bonjour à tous,

J'ai un problème que je n'arrive pas a résoudre, mais qui pourtant me semble simple:

Soit deux réels et , tels que . Je cherche la fonction telle que:

1 - est continue et strictement croissante, et .
2 - (la dérivée de ) est également continue et strictement croissante, avec et .

La dérivée peut éventuellement être linéaire, faisant de une fonction quadratique.

Je me suis longtemps penché sur la question, en travaillant sur la dérivée, mais je n'ai abouti a rien de bon. Par exemple en prenant , mais du coup la fonction ne respecte pas la condition 1.

Est-ce que quelqu'un pourrait m'indiquer le chemin à suivre afin de trouver cette fameuse fonction? Merci
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[invite73e9f390]

Désolé, j'ai oublié de préciser, que les conditions 1 et 2 devront être vérifiés seulement entre et .

[inviteaf1870ed]

Prends un polynôme de degré 3, de la forme ax^3+bx^2

[invite6b1e2c2e]

Salut,

En effet, tu as quatre conditions, donc tu as plutot envie de chercher dans un ev de dimension 4, donc par exemple dans les polynômes de degré <=4. Les conditions en 0 donnent assez vite qu'on peut se passer du coefficient constant et du coefficient linéaire.
Cela dit, rien ne prouve que cette solution satisfait toutes les hypothèses que tu veux (croissance de la dérivée+ éventuellement d'autres) qu'il faudra vérifier ensuite.

Enfin, ça m'étonnerait beaucoup qu'il n'y ait qu'une solution (fais un dessin) dans l'ensemble de toutes les fonctions possibles. Evite donc de parler de "la" fonction définie par : blabla.

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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite73e9f390]

rvz, tout à fait, il y'a à priori une infinité de fonctions remplissant ces conditions. Je cherche une d'entre elles, ou encore mieux une famille de fonctions.

Je suis sur la piste des polynomes de degré 3, merci! Je vous communiquerai mes résultats (eventuels).

[invite73e9f390]

Bon, en prenant , j'ai trouvé avec et .

Pour ce que j'ai a en faire, cela me suffira. Merci pour votre aide