Petite exo sympa

[nicolasaubanel]

Bonjour a tous,
J'ai un exo pour la semaine qui vient et je ne vois pas tres bien ce qu'il me demande.
Soient a appartient a R*, n appartient a N, n>=2,
x1,x2,...,xn sont n reels distincts et la fonction polynome P: R dans R
qui a x associe a(x-x1)(x-x2)...(x-xn)
(c'esta dire que le polynome P atoutes ses racines reelles et simples) Montrer que toutes les racines P' sont aussi reelles et simples.

Alors moi j'ai essayer de deriver mais c'est une formule complique avec a en facteur et chaque fois il y a un des (x-xi) en moins.

Puis je me suis pose la question pourquoi insiste-t-il sur reelles et simple ? Mais je ne sais pas.

Et enfin j'ai essaye par l'absurde en supposant un fois que les racines de P' n'etaient pas reelles puis une autre en supposant que celles ci etaient pas simple. Mais je n'aboutie sur aucune contradiction, Ca m'enerve !!!!!

Quelqu'un peut me dire si une de mes pistes abouties, ou si je cherche dans la mauvaise voie ?

Merci
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[nicolasaubanel]

Je viens de re-essayer de deriver le tout mais ca ne se simplifie pas, je suis embeter.
Je viens aussi d'essayer de faire avec 2 valeurs de n pour voir le comportement mais rien non plus je desespere.

[Jeanpaul]

Ecris la dérivée comme somme de n polynômes.
Ensuite, tu fais x = x1 par exemple et calcule combien vaut la dérivée. Conclus que P'(x1) n'est pas nul.

[Ksilver]

je pense pas que calculer la dérivé soit une bonne idée !!

il faut utiliser le théorème de rolle entre chaque couple de racine consécutive de P.

tu va trouver que P', admet une racine strictement comprise entre xi et xi+1 quelque soit i. tu as donc trouvé n-1 racine a P' : comme P' est de degré n-1, tu as toute les racines de P', et elles sont toutes simple.

[A voir en vidéo sur Futura]