valeur absolues sur Q

[invitedc474eb1]

bonjour j ai un probleme sur cette question ( c est un probleme je met donc les questions precedentes)
soit µ une application define sur Q a valeur dasn R+ est une valeur absolue sur Q si elle verfie les proprietes suivantes:
l application µ n est pas constante
pour tout rationnels r et s µ(s+r)<=µ(s)+µ(r) et µ(s*r)=µ(s)*µ(r)
on sait que µ(0)=0 et µ(1)=1 que µ(r)>0 pour r de Q* que µ(-r)=µ(r) et que pour tout n de N µ(n)<=n
( ce sont en fait des questions que j ai deja traité)

dans cette partie µ designe une valeur absolue sur Q et verifie l hypothese:il existe un entier b>=2 tel que µ(b)>1
1)soit a>=2. si µ(a)<1, montrer que pour tout n de N µ(n)<= (a-1)/(1-µ(a)
si µ(a)=1 montrer que pour tout k de N*,µ(b)^k<=(a-1)*(1+k*LOGa(b))

je sait que je dois utiliser l ecriture de n en base a pour le debut mais je bloque quand meme
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[invite8f53295a]

Bonjour

dans cette partie µ designe une valeur absolue sur Q et verifie l hypothese:il existe un entier b>=2 tel que µ(b)>1
1)soit a>=2. si µ(a)<1, montrer que pour tout n de N µ(n)<= (a-1)/(1-µ(a)
si µ(a)=1 montrer que pour tout k de N*,µ(b)^k<=(a-1)*(1+k*LOGa(b))

Je suppose qu'ici a et b sont des entiers ?

Dans ce cas là, la décomposition en base a convient bien. Si tu écris

tu utilises l'inégalité sur la somme pour avoir

Le (a-1) dans la formule apparaît alors ici :

(le fait que tous les soient inférieurs ou égaux à a-1 est dans la définition du développement en base a).
Ainsi tu as bien l'inégalité
et tu peux conclure en sommant la série géométrique.

Pour la deuxième question, c'est le même principe, tu peux développer b^k en base a. La différence est cette fois-ci que la série géométrique ne converge plus, il faut donc compter combien il y aura de termes dans ton développement de b^k en base a, et c'est là que tu verras apparaître le terme en log_a.

[invitedc474eb1]

okay je vien de comprendre je te remercie vraiment