valeur absolue sur Q

[invitedc474eb1]

bonjour j ai(a nouveau) un probleme sur cette question ( c est un probleme je met donc les questions precedentes)
soit µ une application define sur Q a valeur dasn R+ est une valeur absolue sur Q si elle verfie les proprietes suivantes:
l application µ n est pas constante
pour tout rationnels r et s µ(s+r)<=µ(s)+µ(r) et µ(s*r)=µ(s)*µ(r)
on sait que µ(0)=0 et µ(1)=1 que µ(r)>0 pour r de Q* que µ(-r)=µ(r) et que pour tout n de N µ(n)<=n
( ce sont en fait des questions que j ai deja traité)

dans cette partie on suppose que pour tout b de N , avec b>= 2 , on a µ(b)<=1

1) determiner l application µ si on suppose que µ(b)=1 pour tout b de N/{0;1}

2) on suppose qu il existe b dans N /{0;1} tel que µ(b)<1 .montrer l existence d un entier naturel p tel que µ(p)<1

3)soit q un entier naturel premier,distinct de p, et soit k dans N* . Prouvez que µ(p)^k + µ(q)^k >=1 . En deduire µ(q)=1

je n arrive vraiment pas a avancer . La seule chose dont je soie sur c est que je dois utiliser bezout pour la 3
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[invite35452583]

1) determiner l application µ si on suppose que µ(b)=1 pour tout b de N/{0;1}

Bonsoir,
m pour mu.
m(rs)=m(r).m(s) on peut arriver à ce que deux des trois nombres dont on prend la valeur absolue soient entiers.

[invitedc474eb1]

excuse moi mais je ne comprends vraiment pas ce que tu viens de me marquer

[invite35452583]

2) on suppose qu il existe b dans N /{0;1} tel que µ(b)<1 .montrer l existence d un entier naturel p tel que µ(p)<1

Ca y est je me suis réveillé (b est dans N ).
Si b=ac que peut-on dire de m(a) et de m(c) ? Il n'y a plus qu'à bien écrire la preuve (prendre b le plus petit entier tel que m(b)<1 par exemple)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

excuse moi mais je ne comprends vraiment pas ce que tu viens de me marquer

Si m/n est un rationnel, se débrouiller pour que :
{r,s,rs}={2 entiers et ce rationnel} d'où une équation où apparaît deux fois "1 et l'autre ...1 aussi, non ?

[invitedc474eb1]

je vien de comprendre la question 2 grace a ton indication mais je bloque toujours sur la 1.Je ne vois pas du tout a qoid cela va me mener

[invite35452583]

je vien de comprendre la question 2 grace a ton indication mais je bloque toujours sur la 1.Je ne vois pas du tout a qoid cela va me mener

A quelque chose comme berf la valaur absolue triviale.

Pour 3) oui il y a du Bezout mais après ? C'est un beau sujet pour fderwelt.

[invitedc474eb1]

ca y est je vien de reussir la 1) mais je bloque encore sur la 3 car je ne vois pas comment utiliser bezout

[invite35452583]

dans cette partie on suppose que pour tout b de N , avec b>= 2 , on a µ(b)<=1

Il ne faudrait pas oublier ceci (en plus c'est vrai pour tout b non nul puisque mu(1)=mu(-1)=1)
On applique mu à une égalité de Bezout, quelques égalités et inégalités, mu(1)=1, et ça aboutit.
Pour mu(q)=1, un raisonnement par l'absurde aboutit assez vite.

[invite6de5f0ac]

C'est un beau sujet pour fderwelt.

Bonjour,

J'étais absent ces derniers temps et je n'avais pas suivi ce fil...

Alors je cite de mémoire, même si ça ne répond pas directement à la question posée: les seules valeurs absolues sur Q sont:
(1) la valeur absolue triviale,
(2) la valeur absolue ordinaire,
(3) les valeurs absolues p-adiques pour p premier.
(à équivalence près bien entendu)

La démonstration du (3) fait intervenir le fait qu'une valeur absolue µ est un morphisme de Q*, et "donc" que Z ∩ µ^-1([0,1[) est un idéal propre de Z... après je ne me souviens plus bien mais je regarde dans ma doc, je me souviens que ce n'est plus très difficile de conclure.

-- françois

[invite35452583]

Alors je cite de mémoire, même si ça ne répond pas directement à la question posée: les seules valeurs absolues sur Q sont:
(1) la valeur absolue triviale,
(2) la valeur absolue ordinaire,
(3) les valeurs absolues p-adiques pour p premier.
(à équivalence près bien entendu)

Merci de ce rappel qui me confirme que j'avais bonne mémoire sur ce point (pas pris le temps de rechercher).

La démonstration du (3) fait intervenir le fait qu'une valeur absolue µ est un morphisme de Q*, et "donc" que Z ∩ µ^-1([0,1[) est un idéal propre de Z... après je ne me souviens plus bien mais je regarde dans ma doc, je me souviens que ce n'est plus très difficile de conclure.

-- françois

En effet il vaut mieux mettre des guillemets à ce "donc" car je ne vois pas d'implication évidente (la stabilité par produit interne est évidente mais c'est un peu faible pour être un idéal propre de Z), tu pourrais en dire un plus ?

Cordialement, Luc

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Effectivement, le "donc" est un joli raccourci... J'ai retrouvé une démonstration claire dans Roger Descombes, "Éléments de Théorie des Nombres" (P.U.F.), chapitre III "Valeurs absolues et nombres p-adiques", spécialement §6 "Valeurs absolues sur Q".

Il y a deux parties (si on exclut la valeur absolue triviale):

(cas 2 de mon précédent post) : Les valeurs absolues archimédiennes sur Q sont celles qui sont équivalentes à la valeur absolue ordinaire.
La démonstration est un peu technique mais pas difficile.

(cas 3) : Les valeurs absolues non archimédiennes et non triviales sur Q sont les valeurs absolues p-adiques.
Là le côté non archimédien est essentiel. Posant I = Z ∩ µ^-1([0,1[) on voit que I est un sous-groupe additif de Z, donc un idéal. Il est facile de voir qu'il est propre et non nul, c'est un peu moins évident de voir qu'il est premier (c'est là que le côté non archimédien joue: µ(mn) = µ(m).µ(n) < 1 donc µ(m) < 1 ou µ(n) < 1).
Après, se reporter au bouquin, je ne vais pas tout recopier ici...

-- françois

[invite35452583]

(cas 2 de mon précédent post) : Les valeurs absolues archimédiennes sur Q sont celles qui sont équivalentes à la valeur absolue ordinaire.
La démonstration est un peu technique mais pas difficile.

(cas 3) : Les valeurs absolues non archimédiennes et non triviales sur Q sont les valeurs absolues p-adiques.
Là le côté non archimédien est essentiel.

-- françois

Archimédien je commence à mieux comprendre le pourquoi du résultat (il va falloir que je vois ça de plus près, depuis le temps que je le dis et que je me contente de connaître un peu les p-adiques )

[invite6b1e2c2e]

Salut,

C'est unjoli résultat que je me souviens avoir déjà entendu, mais j'ai juste une petite question : C'est quoi une valeur absolue archimedienne ?

__
rvz

[invite6de5f0ac]

C'est unjoli résultat que je me souviens avoir déjà entendu, mais j'ai juste une petite question : C'est quoi une valeur absolue archimedienne ?

Bonjour,

Pour faire bref, d'abord la notion "intuitive": une valeur absolue µ sur un corps K est archimédienne si, pour tous a et b dans K avec 0 < µ(a) < µ(b), il existe n ∈ N tel que µ(na) > µ(b). Autrement dit, si on peut toujours dépasser µ(b) en accumulant suffisamment de µ(a).

En termes plus techniques: si on désigne par Z_K l'image canonique de Z dans K (càd l'image de Z par l'application n ↦ n.1_K), la valeur absolue µ est archimédienne si µ(Z_K) n'est pas borné. Et évidemment non archimédienne si µ(Z_K) est borné.

Voilà voilà.

-- françois