Question bête ?

[inviteb15628b1]

Bonjour,

Je n'arrive pas à résoudre x²+2lnx=1
Intuitivement j'ai trouvé x=1 comme unique solution mais je n'arrive pas à le démontrer régoureusement.

Quelqu'un pourrait-il m'aider svp ?
Merci ^^
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[invite4ef352d8]

Salut !


cela tien du miracle que ton équation ai une solution simple. essai de remplacer le =1 par n'importe quoi d'autre et on ne pourra plus exprimer les solutions.

pour démontrer que 1 est l'unique solution, dit que x->x^2+2ln(x) est croissante donc l'equation admet au plus une solution. or 1 est solution donc c'est l'unique solution.

mais ne t'attend pas obtenir x=1 par des manipulation algébrique, il est fort probable que cela ne soit pas possile !

[inviteaf1870ed]

Etudie la fonction x²+lnx, regarde en particulier si elle est monotone...

[inviteb15628b1]

Merci beaucoup. Cela me rassure ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

En fait on pouvait trouver la solution avec la fonction de Lambert, cf le post sur exp(x)+x=0.
En effet exp(x²+2ln(x))=x²exp(x²).
On cherche donc la solution de x²exp(x²)=e, et la

[inviteaf1870ed]

On pouvait trouver la solution avec la fonction de Lambert W(cf l'autre post sur exp(x)+x=0).
En effet exp(x²+2ln(x))=x²exp(x²)
L'équation revient à chercher la solution de x²exp(x²)=e, en posant X=x², on a Xexp(X)=e, et X=W(e)=1.
Comme on ne veut que les valeurs positives de x, à cause du ln, il vient x=1.
QED