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Question bête ?



  1. #1
    Dragonflash

    Question bête ?


    ------

    Bonjour,

    Je n'arrive pas à résoudre x²+2lnx=1
    Intuitivement j'ai trouvé x=1 comme unique solution mais je n'arrive pas à le démontrer régoureusement.

    Quelqu'un pourrait-il m'aider svp ?
    Merci ^^

    -----

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  3. #2
    Ksilver

    Re : Question bête ?

    Salut !


    cela tien du miracle que ton équation ai une solution simple. essai de remplacer le =1 par n'importe quoi d'autre et on ne pourra plus exprimer les solutions.

    pour démontrer que 1 est l'unique solution, dit que x->x^2+2ln(x) est croissante donc l'equation admet au plus une solution. or 1 est solution donc c'est l'unique solution.

    mais ne t'attend pas obtenir x=1 par des manipulation algébrique, il est fort probable que cela ne soit pas possile !

  4. #3
    ericcc

    Re : Question bête ?

    Etudie la fonction x²+lnx, regarde en particulier si elle est monotone...

  5. #4
    Dragonflash

    Re : Question bête ?

    Merci beaucoup. Cela me rassure ^^

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    ericcc

    Re : Question bête ?

    En fait on pouvait trouver la solution avec la fonction de Lambert, cf le post sur exp(x)+x=0.
    En effet exp(x²+2ln(x))=x²exp(x²).
    On cherche donc la solution de x²exp(x²)=e, et la

  8. #6
    ericcc

    Re : Question bête ?

    On pouvait trouver la solution avec la fonction de Lambert W(cf l'autre post sur exp(x)+x=0).
    En effet exp(x²+2ln(x))=x²exp(x²)
    L'équation revient à chercher la solution de x²exp(x²)=e, en posant X=x², on a Xexp(X)=e, et X=W(e)=1.
    Comme on ne veut que les valeurs positives de x, à cause du ln, il vient x=1.
    QED

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