Question bête .

**nassoufa_02** · 03/10/2007, 18h03

Bonjour,

j'aimerais démontrer que si E est un evn

E sans point isolé ssi E={0} déjà que jai du mal à croire que c'est vrai..

pourriez vous m'aider s'il vous plaît ?

Cordialement ..

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**tize** · 03/10/2007, 18h28

Bonsoir,
c'est faux, contre-exemple : $\mathbb{R}$ est sans point isolé...
tu es sur que ce n'est pas plutôt E ev a un point isolé ssi E={0}

**nassoufa_02** · 03/10/2007, 18h32

Bonsoir José !

Oui je crois, c'était dans mes notes de cours, certes,

mais je ne vois toujours pas comment démontrer l'assertion que tu as donné.. !

tu peux m'aider stp ?

**tize** · 03/10/2007, 19h02

Oui je pense qu'il faut procéder comme ceci :
soit x un point isolé d'un e.v.n. E alors il existe une boule ouverte centrée en x et de rayon $r>0$ $B(x;r)$ telle que $B(x;r)\cap E=\{x\}$ . C'est absurde si $E\neq \{0\}$ car si l'on prend un vecteur $e\neq 0$ de norme $||e||<r$ alors $x\neq x+e\in B(x;r)$ .
Conclusion : x isolé dans E e.v.n. implique E=0
Dans l'autre sens c'est évident.

**nassoufa_02** · 03/10/2007, 19h15

oki merci !

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