[MPSI] Problème d'analyse

[inviteedb947f2]

Soit f une fonction continue sur R+, et derivable sur R+*.
il existe a et b dans R+* tel que a < b et f(a)=f(b)=0.

Montrez qu'il existe c dans R+*, tel que f '(c) = f(c)/c.


En regardant le contexte de du problème, on remarque que l'on se trouve dans les conditions d'applications du théorème de rolle ou des acroissements finis.
Bien que par simple intuition je pense que je devrai me servir d'un de ces théoremes, je n'arrive pas à me representer graphiquement "f '(c) = f(c)/c".

Pouvez vous me donnez quelques indications, je ne désire pas la solution.

Merci
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[invitea3eb043e]

Intéresse-toi à la fonction g(x) = f(x)/x

[invitec053041c]

Oui sers-toi de g(x)=f(x)/x ça ira tout seul (j'ai eu un exo similaire, cf le topic "dérivée et tangente (rolle)")

[invitec053041c]

AH, et que f'(c)=f(c)/c signifie qu'il passe en c une tangente à la courbe qui passe par l'origine.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Pour te représenter : tu as la courbe de f qui part de l'axe des x en a >0 et rejoint l'axe des x en b>a.

Tu traces une droite quelconque qui part de l'origine, et tu regardes ce qui se passe au point où la droite est tangente à la courbe.

[inviteedb947f2]

Merci beaucoup, le problème est résolu, il suffit d'appliquer le théorème de Rolle à g entre a et b. et avec la dérivée de g on obtient le résultat demandé.
La seul chose qui me dérange dans l'énoncé, c'est que la continuité de f en 0 n'a pas d'incidence, puisque g n'y est pas définie.

Encore merci à vous tous.

[invitea3eb043e]

La seul chose qui me dérange dans l'énoncé, c'est que la continuité de f en 0 n'a pas d'incidence, puisque g n'y est pas définie.

Mais la fonction ne doit pas passer par x=0, sinon le résultat est faux. Regarde tes hypothèses.

[invitec053041c]

Non certes la continuité en 0 ne sert à rien, c'était peut-être pour induire en erreur

[invitec053041c]

JeanPaul, j'avais le même exo avec la condition de plus f'(0)=f(0)=0 et ca se faisait très bien dans mon cas en prolongeant g par continuité . bref!

Sinon j'ai une question qui me taraude un peu, je voudrais qu'on me donne un exemple de fonction dérivable dont la dérivée n'est pas continue.
Merci!

[inviteedb947f2]

regarde f(x) = xsin(1/x)

[inviteedb947f2]

pour x =\= 0

et 0 si x=0

[inviteedb947f2]

je suis pas sur mais il me semble que la dérivé n'est pas continue en 0

[invitec053041c]

Merci! je viens de regarder dans mon cours, il y a l'exemple de x²sin(1/x)
bien vu

[invite005f4666]

bonjour à tous,

Je croyais que pour etre integrable, une fonction devait etre continue...
Donc, si j'ai une dérivée discontinue, celle-ci devient non intégrable, donc comment je retrouve la fonction dont elle est la dérivée... vous me sortez de ce guepier, svp ?

José

[invitec053041c]

Oui c'est sûr, mais le problème en analyse c'est qu'on a vite tendance à prendre un si pour un ssi...

[invite35452583]

Je croyais que pour etre integrable, une fonction devait etre continue...

Bonjour,
la continuité n'est pas une condition nécessaire à l'intégrabilité, exemple très simple une fonction en escalier (constante sur des intervalles)

[invitec053041c]

Oui voilà,t'es intégrable si t'es continu, mais pas ssi