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[MPSI] Problème d'analyse



  1. #1
    Deeprod

    Thumbs up [MPSI] Problème d'analyse


    ------

    Soit f une fonction continue sur R+, et derivable sur R+*.
    il existe a et b dans R+* tel que a < b et f(a)=f(b)=0.

    Montrez qu'il existe c dans R+*, tel que f '(c) = f(c)/c.


    En regardant le contexte de du problème, on remarque que l'on se trouve dans les conditions d'applications du théorème de rolle ou des acroissements finis.
    Bien que par simple intuition je pense que je devrai me servir d'un de ces théoremes, je n'arrive pas à me representer graphiquement "f '(c) = f(c)/c".

    Pouvez vous me donnez quelques indications, je ne désire pas la solution.

    Merci

    -----

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : [MPSI] Problème d'analyse

    Intéresse-toi à la fonction g(x) = f(x)/x

  4. #3
    Ledescat

    Re : [MPSI] Problème d'analyse

    Oui sers-toi de g(x)=f(x)/x ça ira tout seul (j'ai eu un exo similaire, cf le topic "dérivée et tangente (rolle)")
    Cogito ergo sum.

  5. #4
    Ledescat

    Re : [MPSI] Problème d'analyse

    AH, et que f'(c)=f(c)/c signifie qu'il passe en c une tangente à la courbe qui passe par l'origine.
    Cogito ergo sum.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    ericcc

    Re : [MPSI] Problème d'analyse

    Pour te représenter : tu as la courbe de f qui part de l'axe des x en a >0 et rejoint l'axe des x en b>a.

    Tu traces une droite quelconque qui part de l'origine, et tu regardes ce qui se passe au point où la droite est tangente à la courbe.

  8. #6
    Deeprod

    Re : [MPSI] Problème d'analyse

    Merci beaucoup, le problème est résolu, il suffit d'appliquer le théorème de Rolle à g entre a et b. et avec la dérivée de g on obtient le résultat demandé.
    La seul chose qui me dérange dans l'énoncé, c'est que la continuité de f en 0 n'a pas d'incidence, puisque g n'y est pas définie.

    Encore merci à vous tous.

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  10. #7
    Jeanpaul

    Re : [MPSI] Problème d'analyse

    Citation Envoyé par Deeprod Voir le message
    La seul chose qui me dérange dans l'énoncé, c'est que la continuité de f en 0 n'a pas d'incidence, puisque g n'y est pas définie.
    Mais la fonction ne doit pas passer par x=0, sinon le résultat est faux. Regarde tes hypothèses.

  11. #8
    Ledescat

    Re : [MPSI] Problème d'analyse

    Non certes la continuité en 0 ne sert à rien, c'était peut-être pour induire en erreur
    Cogito ergo sum.

  12. #9
    Ledescat

    Re : [MPSI] Problème d'analyse

    JeanPaul, j'avais le même exo avec la condition de plus f'(0)=f(0)=0 et ca se faisait très bien dans mon cas en prolongeant g par continuité . bref!

    Sinon j'ai une question qui me taraude un peu, je voudrais qu'on me donne un exemple de fonction dérivable dont la dérivée n'est pas continue.
    Merci!
    Cogito ergo sum.

  13. #10
    Deeprod

    Re : [MPSI] Problème d'analyse

    regarde f(x) = xsin(1/x)

  14. #11
    Deeprod

    Re : [MPSI] Problème d'analyse

    pour x =\= 0

    et 0 si x=0

  15. #12
    Deeprod

    Re : [MPSI] Problème d'analyse

    je suis pas sur mais il me semble que la dérivé n'est pas continue en 0

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  17. #13
    Ledescat

    Re : [MPSI] Problème d'analyse

    Merci! je viens de regarder dans mon cours, il y a l'exemple de x²sin(1/x)
    bien vu
    Cogito ergo sum.

  18. #14
    jarjarbinks

    Re : [MPSI] Problème d'analyse

    bonjour à tous,

    Je croyais que pour etre integrable, une fonction devait etre continue...
    Donc, si j'ai une dérivée discontinue, celle-ci devient non intégrable, donc comment je retrouve la fonction dont elle est la dérivée... vous me sortez de ce guepier, svp ?

    José
    Vivement qu'Hary Seldon invente la psychohistoire...

  19. #15
    Ledescat

    Re : [MPSI] Problème d'analyse

    Oui c'est sûr, mais le problème en analyse c'est qu'on a vite tendance à prendre un si pour un ssi...
    Cogito ergo sum.

  20. #16
    homotopie

    Re : [MPSI] Problème d'analyse

    Citation Envoyé par jarjarbinks Voir le message
    Je croyais que pour etre integrable, une fonction devait etre continue...
    Bonjour,
    la continuité n'est pas une condition nécessaire à l'intégrabilité, exemple très simple une fonction en escalier (constante sur des intervalles)

  21. #17
    Ledescat

    Re : [MPSI] Problème d'analyse

    Oui voilà,t'es intégrable si t'es continu, mais pas ssi
    Cogito ergo sum.

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