majoration correcte?

[invite7fc34639]

bonjour
je souhaite majorer ma fonction

f(x) = ln(x)/(1+exp(-x))

donc je l'ai majoré de cette facon

f(x) <= t^(alpha)

cela est-il correcte?
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[invite48d4167a]

bonjour;
est ce que tu veux majorer ta fonction sur R?
c est quoi le t et alpha?

[invite7fc34639]

au lieu de "t" c'est "x"

en faite j'ai une intégrale

I= intégral (ln(x)/(1+exp(-x))) sur [1, +infini[

je souhaite étudier la convergence de I
pour cela je majore ma fonction f(x) = ln(x)/(1+exp(-x))
mais j'ai des doute qu'en a la majoration? par quoi je pourrai la majorer?
merci

[invite32bb90e8]

C'est assez loin pour moi ce genre d'exos, mais je crois que f(x) n'est pas intégrable en +inf car :
f(x) est équivalent à ln(x) qui n'est lui même pas intégrable en +inf (il suffit de voir que la limite de sa primitive est +inf)

Marc

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7fc34639]

a Marc
oui elle est pas intégrable, mais le but et de dire si elle converge ou diverge. Dans ce cas précis elle diverge comme tu la expliquer, d'ailleur en utilisant un équivalent en + inf de f(x) on arrive a voir la divergence. Mais je voulais savoir si je pouvais majorer cette fonction?

[invite48d4167a]

ta fonction est majoree sur [1,+infin[ par x

[invite7fc34639]

ok merci king_ae

[invite48d4167a]

pourl e demo:
on a 1/(1+exp(-x))<1 donc f(x)<ln(x). et etudie ln(x)-x sur [1,+infin[ pour montrer que c est negative

[invite00411460]

oui enfin elle est majorée par ln(x) quoi. pourquoi chercher plus loin

[invite32bb90e8]

Je ne comprend pas à quoi est ce que ça te sert de majorer f(x) ???
D'ailleurs pour monter que l'intégrale diverge il faut plutôt trouver un minorant ...

Marc

[invite7fc34639]

oui je vien de m'en apercevoir
j'utilise un équvalent en + inf de f(x)

soit ln(x)/ x je le minore par 1/X ce qui montre la divergence

[invite32bb90e8]

oui je vien de m'en apercevoir
j'utilise un équvalent en + inf de f(x)

soit ln(x)/ x je le minore par 1/X ce qui montre la divergence

Non tu fais encore une petite erreur : f(x) est équivalent à ln(x) et non pas à ln(x)/x.
En effet, 1+exp(-x) tend vers 1 ...

Marc

[invite6f044255]

Sinon, tu peux dire qu'à partir de x=e, elle est minorée par g(x)=1 qui n'est clairement pas intégrable....Et puisque sur [1,e] f est continue, y a pas de soucis...

[inviteab2b41c6]

De toute facon à partir du moment ou la fonction admet une limite qui n'est pas nulle en +oo, alors la fonction n'est pas intégrable sur un intervalle du type ]a,+oo], puisqu'en appelant l cette limite on a que f~l et une fonction constante est intégrable si et seulement si ... elle est nulle.