un peu de matrice!
Bonsoir,
j'ai un petit souci pour l'exercice suivant :
Soient n et p deux entiers naturels non nuls, tels que p<=n
Il faut montrer qu'il existe une base de M_n (lR) (l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans lR) formée de matrices de rang exactement p.
Je ne vois pas trop comment il faut partir,
merci d'avance
Salut !
Il y a une propriété rigolote qui doit pouvoir t'aider. Tu peux lire le machin ci-dessous ou seulement regarder l'énoncé de la propriété (juste avant la signature).
Dans ce qui suit je prends p<n.
Soit (e1;...;en) une famille de rang p dans IRn.
Supposons que Vect(e1;...;en-1) soit de dimension p (c'est le cas à permutation des indices près). En particulier en est dedans.
Soit x qui n'est pas dans Vect(e1;...;en). Alors
Vect(e1;...;en-1;x) est de dimension p+1. C'est aussi Vect(e1;...;en-1;x+en).
On observe que (e1;...;en)=(e1;...;en-1;x+en)-(e1;...;en-1;x)
Donc :
Toute matrice de rang p est différence de deux matrices de rang p+1.
Taar.
