un peu de matrice!
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un peu de matrice!



  1. #1
    invitefb0268ba

    Arrow un peu de matrice!


    ------

    Bonsoir,

    j'ai un petit souci pour l'exercice suivant :
    Soient n et p deux entiers naturels non nuls, tels que p<=n
    Il faut montrer qu'il existe une base de M_n (lR) (l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans lR) formée de matrices de rang exactement p.

    Je ne vois pas trop comment il faut partir,

    merci d'avance

    -----

  2. #2
    invite9cf21bce

    Re : un peu de matrice!

    Salut !

    Il y a une propriété rigolote qui doit pouvoir t'aider. Tu peux lire le machin ci-dessous ou seulement regarder l'énoncé de la propriété (juste avant la signature).

    Dans ce qui suit je prends p<n.

    Soit (e1;...;en) une famille de rang p dans IRn.

    Supposons que Vect(e1;...;en-1) soit de dimension p (c'est le cas à permutation des indices près). En particulier en est dedans.

    Soit x qui n'est pas dans Vect(e1;...;en). Alors
    Vect(e1;...;en-1;x) est de dimension p+1. C'est aussi Vect(e1;...;en-1;x+en).

    On observe que (e1;...;en)=(e1;...;en-1;x+en)-(e1;...;en-1;x)

    Donc :

    Toute matrice de rang p est différence de deux matrices de rang p+1.

    Taar.

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