Suite non linéaire

[inviteb085001e]

Bonjour, j'ai un petit problème... Je vous explique :
Je me suis mis dans la tête de calculer l'aire de la fractale de von Kosh, n’ayant pas un super niveau en mathématique, j'ai procédé par étape. A savoir calculer l'aire du triangle, ensuite vers les différents degrés de la fractale.

J'obtiens comme suite : 1/8 racine(3) L^2 ; 1/6 racine(3) L^2 ; 5/27 racine(3) L^2 ; 3/16 racine(3) L^2

Ce que je cherche serais de voir vers quelle valeur tend l'aire à la n ème itération.

Après une recherche sur le net, je suis tombé sur Newton-Raphson, qu'en pensez-vous ? Pouvez-vous me dire si y'a une méthode plus simple ?

Merci d'avance.
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[Calvert]

Salut!

J'ai rapidement regardé, alors il reste peut-être des erreurs, mais la méthode me semble valable.

Considérons donc un triangle equilatéral de côté L. Il s'agit de l'itération 0 pour obtenir le "flocon" de neige de von Koch.

Son aire vaut


L'itération consiste en les opérations suivantes:

1) partager la longueur précédente en trois;
2) ajouter un triangle équilatéral de côté cette longueur sur chacun des côté.

Ainsi, à la première itération, on ajoute triangles de côté .
A la deuxième itération, on ajoute triangles (le facteur 4 vient du fait que le nombre de côté sur lesquels reposent les nouveaux triangles sont multipliés par 4 à chaque itération) de côté .

...

A la nième itération, on aura à ajouter triangles de côté .

On aura donc que l'aire totale est:



Enlevons le 1 de la parenthèse (nous le rajouterons à la fin). Il nous reste donc:





qui n'est autre qu'une série géométrique convergente de raison 4/9. La somme vaut donc:



Ainsi, l'aire du fractal devient:



Voilà. Moyennant les éventuelles erreurs, c'est quelque chose comme ça.

[inviteb085001e]

Merci beaucoup Calvert, en effet il doit y avoir des erreurs (mais elles viennent peut-être de mes aires), car la suite tend théoriquement vers 2/5 racine(3) L^2 il me semble, mais je vais étudier ça de près.

PS : Comment fait-on les belles équations ? C'est du LaTex ?

[Calvert]

Oui, c'est latex!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Calvert]

Bon, j'ai trouvé une erreur:

je reprends:




Et cette somme tend vers

On a donc:



Cette fois, je crois que c'est bon!

[inviteb085001e]

je te remercie beaucoup, je vais étudier tout ça