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[Gr. de Lie] Autour du neutre



  1. #1
    Sephi

    [Gr. de Lie] Autour du neutre


    ------

    Bonjour,

    Mon prof m'a un jour lancé une affirmation (qui sort du cadre de mon travail), mais qui m'a intéressé. Il m'a dit que si on prend un (très petit) ouvert autour du neutre d'un groupe de Lie, alors l'ensemble des groupes à 1 paramètre contenus dans cet ouvert engendrent l'algèbre de Lie associée à ce groupe.

    Quelqu'un a-t-il des sources à ce sujet ?

    -----

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  4. #2
    BS

    Re : [Gr. de Lie] Autour du neutre

    Oui en fait l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie est un objet local, elle ne dépend que de ce qui se passe au voisinage de l'élément neutre. C'est ce qui fait tout l'intérêt de la théorie des groupes de Lie car un groupe de Lie est un objet global qui est (presque) gouverné par son algèbre de Lie, c'est-à-dire par ce qui se passe au voisinage du neutre.

  5. #3
    fderwelt

    Re : [Gr. de Lie] Autour du neutre

    Bonsoir,

    N'importe quel cours sut les groupes et algèbres de Lie te donnera le détail. J'ai sous les yeux le déjà ancien "Grpies de Lie, Représentations Linéaires et Applications" de Guy Pichon, chez Hermann, collection "Méthodes" (couverture argentée). Mais j'en ai beaucoup d'autres, la plupart en anglais hélas. Tu paux aussi trouver ce genre de truc sur le web en googlant beaucoup. J'aime bien le Pichon parce qu'il est court et en français, mais malheureusement pas très complet, c'est juste un bon aperçu.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  6. #4
    Sephi

    Re : [Gr. de Lie] Autour du neutre

    L'anglais n'est pas un problème

    Je vais tenter de googler alors :/ À moins que qqn aies déjà une source dans ses favoris

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Sephi

    Re : [Gr. de Lie] Autour du neutre

    Finalement, j'ai pu démontrer cela ...

    (1) Je sais que dans un groupe de Lie G, tout voisinage symétrique (ie stable pour l'inversion) du neutre engendre G.

    (2) J'ai obtenu un difféomorphisme entre 2 voisinages du neutre de deux groupes de Lie :

    Ad : V SU(2) W SO(3)

    Je souhaite montrer avec (1) que Ad est surjectif sur SO(3). Comment puis-je le montrer ? Intuitivement, je me dis que W engendre SO(3) et V est difféomorphe à W. Donc d'une certaine façon, V "engendre" (à travers son image par Ad) tout SO(3). Du coup, Ad : SU(2) SO(3) est surjectif car SU(2) contient plus d'éléments qu'il n'en faut pour couvrir SO(3) via Ad.

    Mais j'ai du mal à formaliser cela ...

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