dérivabilité de cos(1/x)/ln|x| en 0.

[invite92876ef2]

Bonjour mesdames messieurs.

soit f définie sur ]-1;1[ : x diférent de 0 => f(x) = (x/ln|x|)cos(1/x)
x=0 => f(0) = 0.

f est-elle dérivable sur ]-1;1[ ?

Je n'arrive pas à calculer

lim(x=>0) cos(1/x)/ln|x|.

Je ne vois pas quel changement de variable je pourrais faire...

Merci de m'aider !
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[Médiat]

Tu dois pouvoir encadrer facilement cos(1/x), après c'est évident...

[invite92876ef2]

Oui bien sûr, mais l'énoncé veut une changement de variable...

[invite92876ef2]

On a avec le théorème des valeurs intermédiaires : f'(0)=0.

Maintenant, on a les suites :

U_n = 1 / (Pi/2 + 2nPi)
V_n = 1 / (-Pi/2 + 2nPi)

remarque : lim_n=>+oo U_n = lim _n=>+oo V_n = 0⁺.

Calculer f'(U_n) et f'(V_n)

Moi j'ai : f'(x) = 1/(ln|x|)² [xcos(1/x)(ln|x|-1) + ln|x|sin(1/x].

Je suis bloqué ici...

[A voir en vidéo sur Futura]